МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6. ГеоГРАФия

1.

В деревне 9 домов. Известно, что у Гоши соседи Иван и Роман, Максим сосед Ивану и Михаилу, Виктор — Алексею и Андрею, а также по соседству живут Константин с Андреем, Иван с Михаилом, Константин с Алексеем, Михаил с Романом, и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Гоша огородами пробраться к Андрею за яблоками?

2.

В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если сумма цифр-названий этих городов, делится на 4. Можно ли добраться из города 2 в город 8?

3.

В государстве 60 городов, и из каждого из них выходит 5 дорог. Сколько всего дорог в государстве?

4.

Есть 7 марсиан, у каждого из которых: а) по одной руконожке; б) по три руконожки. Могут ли они взяться за руконожки так, чтобы свободных руконожек не было?

5.

Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

6.

Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 5 дорог, быть ровно 2013 дорог?

7.

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

8.

Из столицы Тридевятого царства выходит 39 дорог, из крепости Дальняя выходит одна дорога, а из всех остальных городов царства выходит по 20 дорог (любые два города соединяются не более чем одной дорогой, и дорог с началом и концом в одном и том же городе нет). Докажите, что гонец царя может проехать по дорогам из столицы в крепость Дальнюю.