МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Версия для печати

Занятие 18. Формула Пика–2

На этом занятии можно было досдавать задачи 6–9 с предыдущего занятия, а также решить несколько новых задач. Некоторые из этих новых задач помогут вам решить сложные задачи с предыдущего занятия.

Теорема (формула Пика). Пусть вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах сетки, причём внутри него лежит n узлов сетки, а на границе m узлов. Тогда площадь этого многоугольника равна n + m/2 − 1.

1.
Шахматный король обошёл доску 8×8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз, и последним ходом вернулся на исходное поле. Ломаная, последовательно соединяющая центры полей, не имеет самопересечений.
a)
Нарисуйте пример такой ломаной.
б)
Найдите площадь, ограниченную этой ломаной.
в)
Докажите, что эта площадь не зависит от того, как именно ходил король.
2.
(подсказка к задаче 7 с предыдущего занятия)
a)
Докажите, что если площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки умножить на 2, получится целое число.
б)
Может ли многоугольник с вершинами в узлах сетки иметь площадь 8/3 ?
3.
(подсказка к задаче 9 предыдущего занятия) На клетчатой бумаге отметили пять узлов сетки. С помощью задачи 8 с предыдущего занятия докажите, что среди них найдутся два таких, что середина отрезка, их соединяющего, тоже попадёт в узел сетки.
4.
(дополнение к задаче 9 с предыдущего занятия) Нарисуйте невыпуклый пятиугольник с вершинами в узлах сетки, ни внутри которого, ни на границе которого нет других узлов сетки.
5.
a)
Найдите площади фигур с «дырками» на рисунке справа. Верна ли для них формула Пика? Если нет, то как её исправить?
б)
Придумайте аналог формулы Пика для многоугольника с вершинами в узлах сетки и вырезанной в нём многоугольной «дыркой» (также с вершинами в узлах сетки). Докажите его, пользуясь обычной формулой Пика. К задаче 5
6
Из большого клетчатого прямоугольника вырезано n клеток (см. рисунок внизу справа; на рисунке внизу слева — пример для n = 3).
a)
Определите размеры исходного прямоугольника.
б)
Найдите его площадь после вырезания клеток.
в)
Верна ли для него формула Пика? Если нет, то как её исправить?
г)
Придумайте аналог формулы Пика для многоугольника с вершинами в узлах сетки и вырезанными в нём n многоугольными «дырками» (также с вершинами в узлах сетки). Докажите его, пользуясь обычной формулой Пика. К задаче 6

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS