МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов)

Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Занятие 18. Формула Пика–2

На этом занятии можно было досдавать задачи 6–9 с предыдущего занятия, а также решить несколько новых задач. Некоторые из этих новых задач помогут вам решить сложные задачи с предыдущего занятия.

Теорема (формула Пика). Пусть вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах сетки, причём внутри него лежит n узлов сетки, а на границе m узлов. Тогда площадь этого многоугольника равна n + m/2 − 1.

1.

Шахматный король обошёл доску 8×8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз, и последним ходом вернулся на исходное поле. Ломаная, последовательно соединяющая центры полей, не имеет самопересечений.

a): Нарисуйте пример такой ломаной.
б): Найдите площадь, ограниченную этой ломаной.
в): Докажите, что эта площадь не зависит от того, как именно ходил король.

2.

(подсказка к задаче 7 с предыдущего занятия)

a): Докажите, что если площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки умножить на 2, получится целое число.
б): Может ли многоугольник с вершинами в узлах сетки иметь площадь 8/3 ?

3.

(подсказка к задаче 9 предыдущего занятия) На клетчатой бумаге отметили пять узлов сетки. С помощью задачи 8 с предыдущего занятия докажите, что среди них найдутся два таких, что середина отрезка, их соединяющего, тоже попадёт в узел сетки.

4.

(дополнение к задаче 9 с предыдущего занятия) Нарисуйте невыпуклый пятиугольник с вершинами в узлах сетки, ни внутри которого, ни на границе которого нет других узлов сетки.

5.

a): Найдите площади фигур с «дырками» на рисунке справа. Верна ли для них формула Пика? Если нет, то как её исправить?
б): Придумайте аналог формулы Пика для многоугольника с вершинами в узлах сетки и вырезанной в нём многоугольной «дыркой» (также с вершинами в узлах сетки). Докажите его, пользуясь обычной формулой Пика.

6

Из большого клетчатого прямоугольника вырезано n клеток (см. рисунок внизу справа; на рисунке внизу слева — пример для n = 3).

a): Определите размеры исходного прямоугольника.
б): Найдите его площадь после вырезания клеток.
в): Верна ли для него формула Пика? Если нет, то как её исправить?
г): Придумайте аналог формулы Пика для многоугольника с вершинами в узлах сетки и вырезанными в нём n многоугольными «дырками» (также с вершинами в узлах сетки). Докажите его, пользуясь обычной формулой Пика.