МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 0. Письменная работа

1.

Известно, что a + b = 20 и b − c = 10. Найдите a + c.

Ответ Решение

Ответ. a + c = 10.

Решение. Выразим из первого равенства b = 20 − a и подставим во второе равенство: 20 − a − c = 10. Отсюда 20 − (a + c) = 10, или a + c = 20 − 10 = 10.

2.

Трое преподавателей спорили, кто из них самый строгий. Андрей сказал: «Я самый строгий. Даниил не самый строгий». Николай сказал: «Андрей не самый строгий. Я самый строгий». Даниил сказал: «Я самый строгий». Оказалось, что все утверждения самого строгого преподавателя истинны, а все утверждения остальных преподавателей ложны. Так кто же из них самый строгий?

Ответ Решение

Ответ. Андрей.

Решение.

Разберём три возможных случая.

Случай первый: самый строгий — Андрей. В этом случае Андрей всё время говорит правду, а Николай и Даниил всё время лгут. Никаких противоречий не возникает, этот случай возможен. Но надо ещё проверить невозможность двух других случаев.

Случай второй: самый строгий — Николай. В этом случае Андрей говорит, что Даниил — не самый строгий, и это ложь, то есть Даниил на самом деле самый строгий. Но это противоречит нашему предположению. Таким образом, этот случай невозможен.

Случай третий: самый строгий — Даниил. В этом случае Николай говорит, что Андрей не самый строгий, и это ложь, то есть Андрей на самом деле самый строгий. Но это противоречит нашему предположению. Таким образом, этот случай также невозможен. Тем самым доказано, что единственно возможный случай — первый из рассмотренных.

3.

Три одинаковых игральных кубика уложены друг на друга так, как показано на рисунке. Соседние кубики приложены друг к другу одинаковыми гранями. Сколько точек на нижней грани самого нижнего кубика? Ответ объясните.
Примечание: в этой задаче сумма чисел на противоположых гранях кубиков не обязательно равна 7, как это бывает у «классических» игральных кубиков.

Ответ Решение

Ответ. Одна точка.

Решение. На нижней грани самого верхнего кубика (и на верхней грани среднего кубика) может быть только одна точка. В самом деле, на верхнем кубике уже есть грани с 4, 5 и 6 точками, а на среднем — с 2 и 3. Значит, на всех кубиках грань с одной точкой противоположна грани с 6 точками (так как все кубики одинаковы). Поэтому на нижней грани среднего кубика и верхней грани нижнего кубика по 6 точек, а на нижней грани нижнего кубика — одна точка.

4.

В июле некоторого года было четыре понедельника и четыре пятницы. Каким днём недели могло быть пятнадцатое июля этого года?

Ответ Решение

Ответ. Только вторником.

Решение. Достаточно выяснить, каким днём недели будет 1 июля, тогда 15 июля будет тем же днём недели (потому что в неделе семь дней, а 15 = 1 + 7·2). Нетрудно проверить, что если 1 июля будет вторником, то условие задачи будет выполнено, а в остальных случаях — нет (появится либо «лишний» понедельник, либо «лишняя» пятница).

5.

Есть 20 роз, 9 тюльпанов и 8 астр. Сколько существует способов составить букет из 21 цветка? Ответ объясните.

Ответ Решение

Ответ. 89 способов.

Решение.

Будем составлять букет так: сначала определим количество тюльпанов, затем — количество астр, а остальные цветы будут розами.

Тюльпаны можно взять в количестве от 0 до 9 (10 вариантов), а астры — в количестве от 0 до 8 (9 способов). Итого выбрать, сколько будет тюльпанов и сколько астр, можно 10·9 = 90 способами. Но один из этих способов (когда и тюльпанов, и астр 0) нас не устраивает: в этом случае надо набрать 21 цветок из одних роз, а их всего 20. Остальные способы нас устраивают. Поэтому букет из 21 цветка можно составить 90 − 1 = 89 способами.

6.

Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Может ли быть, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, если одновременных решений не было?

Ответ Решение

Ответ. Не может.

Решение. Если каждую задачу решили все три девочки и одновременных решений не было, то за эту задачу они вместе получат 4 + 2 + 1 = 7 конфет. Поэтому общее количество конфет, полученных девочками за все задачи, должно делиться на 7 (точнее, оно будет в 7 раз больше количества решённых задач). А по условию оно равно 20·3 = 60, то есть не делится на 7. Полученное противоречие доказывает, что описанная в задаче ситуация невозможна.

7.

Может ли прямая пересекать все стороны а)10-угольника, б)11-угольника, при этом не проходя через его вершины?

Ответ Решение

Ответ. а) Может; б) не может.

Решение.

а) Один из возможных примеров приведён на рисунке:

б) Предположим, что существует 11-угольник и прямая, которая пересекает все его стороны и при этом не проходит через его вершины. Будем двигаться вдоль этой прямой. Пересекая первую сторону 11-угольника, мы оказываемся внутри него, пересекая вторую — снаружи, пересекая третью — снова внутри, пересекая четвёртую — снова снаружи, и так далее. Пересекая одиннадцатую сторону 11-угольника, мы оказываемся внутри него, и вся оставшаяся часть прямой лежит внутри 11-угольника. А такого быть не может: прямая бесконечна, а любой многоугольник — ограниченная фигура (например, его можно уместить внутри окружности достаточно большого радиуса).

8.

В школе каждый шестиклассник дружил ровно с пятью другими шестиклассниками. Окончив 6 класс, некоторые шестиклассники перешли в другие школы. При этом среди оставшихся семиклассников стало на 26 пар друзей меньше. Теперь каждый из оставшихся шестиклассников (точнее, уже семиклассников) дружит только с тремя другими семиклассниками. Сколько теперь в школе пар друзей среди семиклассников?
Пояснение. Если А дружит с В и С, а В и С не дружат между собой, то это две пары друзей: А–В и А–С. Если А уходит в другую школу, то становится на две пары друзей меньше.

Ответ Решение

Ответ. 9 пар.

Решение.

1. Если в школе осталось n семиклассников, то пар друзей среди них n · 3 : 2 (каждый дружит с тремя другими, и каждая дружба считается два раза). Чтобы это число было целым, n должно быть чётным.

2. Распавшиеся пары друзей — это те, которые состоят из двух шестиклассников, перешедших в другие школы, и те, которые состоят из одного оставшегося шестиклассника и одного перешедшего. Если перешедших шестиклассников m, то всех пар друзей сначала было 5(m + n) : 2, а распалось 5(m + n) : 2 − n · 3 : 2 = (5m + 2n) : 2 = 26 пар, откуда 5m + 2n = 52 и 5m = 52 − 2n. В правой части этого уравнения число 52 делится на 4, а по пункту (а) число n чётно, поэтому 2n тоже делится на 4, так что правая часть делится на 4. Значит, и левая часть уравнения должна делиться на 4, поэтому m делится на 4.

3. Перебираем всевозможные натуральные m, кратные 4. Подходят только m = 4 (тогда из уравнения найдём n = 16) и m = 8 (тогда n = 6). При других m число n получается отрицательным.

4. Если бы в школе осталось 16 семиклассников и каждый из них дружил с двумя, ушедшими в другие школы, то распавшихся пар друзей было бы не менее 16 · 2 = 32, что противоречит условию. Поэтому возможен только вариант m = 8, n = 6. Тогда, пользуясь рассуждениями из пункта 1, найдём, что осталось n · 3 : 2 = 6 · 3 : 2 = 9 пар друзей.