МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 17. Формула Пика.

1.

Докажите формулу Пика в частных случаях:

a)

для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки;

б)

для многоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки;

в)

для прямоугольного треугольника с катетами на линиях сетки;

г)

для многоугольника, составленного из двух многоугольников, для каждого из которых формула Пика уже доказана.

2.

Пусть многоугольник, для которого формула Пика уже проверена, составлен из двух многоугольников. Докажите, что если формула Пика выполняется для одной из частей, то она выполняется и для другой.

3.

Используя задачи 17.1 и 17.2, докажите формулу Пика для произвольного треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Для этого получите треугольник из прямоугольного треугольника отрезанием прямоугольных треугольников и прямоугольников.

4.

Докажите Лемму для выпуклых многоугольников.

5.

Докажите формулу Пика для произвольного многоугольника.

6.

Нарисуйте треугольник площади ½, у которого длины всех сторон больше 5, а вершины лежат в узлах сетки.

7.

Можно ли квадрат 50 × 50 разбить на 15 одинаковых многоугольников с вершинами в узлах сетки?

8.

Концы отрезка лежат в узлах сетки, причём один конец на p клеток правее и на q клеток выше другого. При каких условиях середина отрезка тоже будет лежать в узле сетки?

9.

a)

Докажите, что внутри выпуклого пятиугольника с вершинами в узлах сетки или на одной из его сторон есть хотя бы ещё один узел сетки.

б)

Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n < 5.