МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 22. Примеры и контрпримеры

1.

Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно:

a)

по 2 монеты;

б)

по 3 монеты;

в)

по 4 монеты;

г)

по 5 монет;

д)

по 6 монет;

е)

по 7 монет? Монеты можно класть друг на друга.

2.

Приведите контрпример к каждому из следующих утверждений.

а)

Все четырёхугольники, у которых все стороны равны, — квадраты.

б)

Через любые три точки плоскости можно провести прямую.

в)

Через любые три точки плоскости можно провести окружность.

г)

Все простые числа — нечётные.

д)

Если число делится на 2 и на 6, то оно делится и на 12.

е)

Если число a делится на 15 и на b, то оно делится и на 15b.

3.

Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5 × 8 и проведите в каждой выбранной клетке одну из диагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.

4.

Вася думает, что если площадь первого прямоугольника больше площади второго, а также периметр первого больше периметра второго, то из первого прямоугольника можно вырезать второй. Прав ли он?

5.

Известно, что a = b + 1. Может ли оказаться, что a⁴ = b⁴?

6.

Барон Мюнхгаузен утверждает, что может для некоторого N так переставить числа 1, 2, ..., N в другом порядке и затем выписать их все подряд без пробелов, что в результате получится многозначное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Не хвастает ли барон?
Подсказка: подумайте, при каком наименьшем N такое возможно.

7.

Рома сформулировал теорему: если число 88a делится на число b, то и число a делится на число b.

а)

Найдите хотя бы один контрпример к этой теореме (то есть число b, для которого утверждение теоремы выполняется не при всех a).

б)

При каких b утверждение теоремы верно, а при каких неверно?

в)

При подстановке каких чисел вместо 88 все контрпримеры останутся контрпримерами?