МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Оценка + пример. 23 марта 2013

1.

Трёх рыцарей, каждый из которых со своим оруженосцем, переправьте через реку на двухместной лодке, если оруженосцы отказываются оставаться с незнакомыми рыцарями без своих хозяев.

2.

На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них знаки «+» так, чтобы сумма оказалась трехзначным числом. Какое наибольшее число может получится?

3.

На рисунках плоскость разбита на клетки в форме а) правильных треугольников; б) квадратов; в) правильных шестиугольников. Соседними считаются клетки, у которых есть общая сторона. Каждую клетку красят одним цветом, при этом любые две соседние должны быть покрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов потребуется для такой раскраски?

4.

Выпишите последовательно в порядке возрастания десять первых простых чисел. В полученном числе вычеркните половину цифр так, чтобы оставшиеся выражали наименьшее возможное число.

5.

В пруд пустили 30 щук, которые кушали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук может насытиться? (съеденная сытая учитывается)

6.

В старину в городе Костроме было всего шесть улиц. Для защиты города от врагов жители решили построить крепость. Крепость должна была иметь вид многоугольника, и каждая ее стена должна была располагаться вдоль одной из улиц. На каждом углу крепости предполагалось построить башню. Какое наибольшее количество башен могла иметь такая крепость? Нарисуйте план города и крепости для этого случая.

7.

Дана последовательность чисел от 1 до 100. Эти числа требуется покрасить в минимальное количество цветов так, чтобы в любой паре чисел, а которой одно из них делится на другое, эти числа были покрашены в разные цвета. Найдите это число и приведите пример раскраски.