МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Формулы сокращенного умножения. 13 апреля 2013

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a + b)(a − b)
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

1.

Чему равно произведение: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/225)?

2.

Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x² − 2000x = y² − 2000y. Найдите сумму чисел x и y.

3.

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

4.

Сколькими способами число 23 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

5.

a, b, c — такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.

6.

Разложить в произведение многочленов меньших степеней: x⁴ + 16.

7.

Известно, что a + b + c = 5 и ab + bc + ac = 5. Чему может равняться a² + b² + c²?

8.

Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, является полным квадратом.