МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Раскраски-1. 1 декабря 2012

1.

Из шахматной доски вырезали нижнюю правую и левую угловые клетки. Можно ли полученную фигуру разрезать на доминошки 1х2? А если вырезать нижнюю правую и верхнюю левую?

2.

Можно ли доску 6х6 разрезать на доминошки, так чтобы среди них было ровно 11 горизонтальных? (подсказка: не используйте шахматную раскраску).

3.

Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. Можно ли обойтись тремя цветами?

4.

В квадрате 4?4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?

5.

а)

Можно ли разрезать шахматную доску на фигурки, состоящие из 4 клеток в форме буквы "Т"?

б)

Можно ли разрезать на такие фигурки шахматную доску 10?10?

6.

Белая плоскость произвольным образом забрызгана чёрной тушью. Доказать, что для любого положительного R существует отрезок длины R, у которого оба конца одного цвета.

7.

В городе Бельдяжки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать?

Дополнительные задачи:

8.

Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из равностороннего треугольника со стороной 5 (рис.1).

9.

Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов (рис.2). В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?