МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Версия для печати

Занятие 4 (8.10.2011). Делимость-2

1.
Докажите, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на d тогда и только тогда, когда их разность делится на d.
2.
Докажите, что если число имеет нечетное количество натуральных делителей, то это число — точный квадрат (т.е. квадрат некоторого натурального числа).
3.
Докажите, что m(m + 1)(m + 2) делится на 6.
4.
Докажите, что произведение любых k последовательных натуральных чисел делится на k!.
5.
Может ли число n! оканчиваться ровно на 5 нулей?
6.
Может ли число, записываемое при помощи 100 единиц, 100 нулей и 100 двоек быть точным квадратом?
7.
Докажите, что точный квадрат не может заканчиваться на две нечетные цифры.
8.
Докажите, что число 20102011 нельзя представить в виде суммы двух точных квадратов.
9.
Сколько различных натуральных делителей у числа а) pa, б) p1 p2 ... pk, в) p1a1 p2a2 ... pkak, где pi – различные простые числа.
10.
Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два таких числа, что а) их разность делится на 51; б) их сумма или разность делится на 100.
11.
Найдите остаток от деления числа 2010! на 2011.
12.
Постройте графики функций a) y = |x² – 8x|, b) y = x² – 8|x|, c) y = |x² – 8|x||.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS