МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Версия для печати

Занятие 16 (18 февраля 2012). Остатки квадратов и кубов

1.
Составьте таблицы остатков от деления на m квадратов и кубов целых чисел для m = 3, 4, 5, 7, 8. Они понадобятся при решении некоторых задач этого листка!
2.
Может ли число 200...009 быть квадратом целого числа при каком-либо количестве нулей?
3.
На какие цифры может оканчиваться квадрат целого числа?
4.
Может ли квадрат целого числа иметь вид
a)
5q + 2,
b)
3q − 1,
c)
6q − 1?
5.
Возьмем произвольное число n, найдем сумму его цифр, потом найдем сумму цифр результата и т.д. В итоге получим однозначное число R.
a)
Докажите, что R равно остатку от деления n на 9.
b)
Чему может равняться R, если n — точный квадрат.
c)
А если R — точный куб?
6.
Существует ли натуральное число N такое, что N2 + 1 делится на 3? N3 + 3 делится на 99.
7.
Докажите, что если x2 + y2 делится на 3 (x, y — целые), то x и y делятся на 3.
8.
Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа? А трех нечетных чисел?
9.
a, b, c — натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a3 + b3 + c3 тоже делится на 6.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS