МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Версия для печати

Занятие 3 (1 октября 2011 года)

1.
Докажите, что если a > b, то НОД(a, b) = НОД(b, ab).
2.
Найдите НОД (25, 1717).
3.
Пусть u = НОК(a, b), m — какое-то другое общее кратное a, b. Докажите, что u | m (сдаётся письменно!).
4.
Коля берет бумажный лист m×n, отрезает от него квадрат по меньшей стороне и кидает на пол. От оставшегося прямоугольника снова отрезается квадрат и так далее до тех пор, пока это возможно. Разрез идет по линиям клеток. Что останется в руках у Коли, когда он закончит этот увлекательный процесс и приступит к уборке?
5.
Задано натуральное число a. Какое наибольшее значение может принимать НОД(n² + a, (n + 1)² + a)?
6.
Фальшивомонетчик Билл печатает банкноты достоинством 17 долларов, а фальшивомонетчик Джон — банкноты достоинством 23 доллара. Джон задолжал Биллу 10 долларов. Как им расплатиться? Придумайте несколько способов.
7.
Верно ли, что многочлен n² + n + 41 принимает только простые значения?
8.
С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нем каждый четвертый день, второй — каждый пятый, третий — каждый шестой и четвертый — каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?
9.
Решите уравнение |x − 1717| = |1919 − x|.

Домашнее задание

10.
Есть две банки, емкости которых равны 310 и 210 мл. Можно ли при помощи этих банок перелить в пустую бочку из полной бочки 3 л. воды? 10 мл? 45 мл?
11.
Докажите, что уравнение x/y + y/z + z/x = 1 не разрешимо в натуральных числах.
12.
Докажите, что для нечетных чисел a, b, c верно НОД((a + b)/2, (b + c)/2, (a + c)/2) = НОД(a, b, c).

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS