МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Версия для печати

Занятие 18 (3 марта 2012 года). Индукция

Принцип математической индукции. Если какое-либо утверждение, в формулировке которого содержится обозначение натурального числа N (обозначим это утверждение как T(N)), верно при N = 1 и из T(N) следует T(N + 1), то это утверждение верно при любом натуральном N.

1.
Докажите, что
1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2 1 .
2482n2n
2.
Докажите, что
1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 < 2 1 .
4916n²n
3.
Докажите, что 2n > n при любом натуральном n.
4.
Найдите все натуральные n, при которых 2n > n².
5.
Неравенство Бернулли. Докажите, что (1 + a)n ≥ 1 + na, если a, n — натуральные.
6.
Плоскость разделена на части n прямыми, где n > 2, причем не все прямые проходят через одну точку. Доказать, что среди получившихся частей есть треугольник.
7.
На какое максимальное число частей могут разбить плоскость
a.
n прямых,
b.
n окружностей?
8.
На краю пустыни имеется большой запас бензина и машина, которая при полной заправке может проехать 50 км. Имеется неограниченный запас канистр, в которые можно сливать бензин из машины и оставлять на хранение в любой точке пустыни. Докажите, что машина может проехать любое расстояние вглубь пустыни (канистры с бензином возить не разрешается, пустые можно возить в любом количестве)
9.
При каких n гири весом 1, 2, ..., n кг можно разложить на три равные по весу кучки?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS