МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6. Проценты и части

Население приняло активное участие в выборах. На избирательном участке А. проголосовало 102% избирателей…

Из репортажа

1.

а)

На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно возросло на 35%?

б)

На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно уменьшилось на 30%?

в)

Число умножили на 0,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

г)

Число умножили на 2,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

Ответ Решение

Ответ. а) 1,35; б) 0,7; в) уменьшилось на 26%; г) увеличилось на 174%.

Решение. а) 35% числа x – это 0,35x. Если число x увеличить на 35%, получим х + 0,35x + 1,35x. Аналогично рассматривается пункт б. в) 0,74 от числа - это 74% от числа x. Так как 0,74<1, то число уменьшилось на 100%-74%=26%. Аналогично рассматривается пункт г.

Замечание. Решение всех задач на проценты основано как раз на переходе от процентов к долям и обратно. Главное – все время следить, от какой именно величины берется процент или как она изменяется.

2.

В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилась на 10%. В какой бочке стало больше воды?

Ответ Решение

Ответ. В обеих бочках воды по-прежнему поровну.

Решение. Пусть в каждой бочке было по x литров. После уменьшения количества воды на 10% в первой бочке стало 0,9·x литров воды, а после увеличения на 10% (уже от нового объема!) в ней стало 1,1·0,9·x = 0,99·x литров воды. Аналогично, во второй бочке стало сначала 1,1·x литров воды, а затем 0,9·1,1·x = 0,99·x литров воды. Таким образом, в обеих бочках количество воды по-прежнему одинаковое (но меньше прежнего!).

3.

Петя купил две книги. Первая из них на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Ответ Решение

Ответ. На 33¹/₃%.

Решение. Пусть первая книга стоит x рублей, а вторая y рублей, тогда x=1,5·y. Отсюда находим, что y=²/₃·x, то есть y составляет ²/₃·100%=66²/₃% от числа x. Таким образом, вторая книга дешевле первой на 100% − 66²/₃%=33¹/₃%.

4.

В 100 г раствора имеется 1% соли. После испарения стало 2% соли. Сколько весит этот 2-процентный раствор соли?

Ответ Решение

Ответ. 50 г.

Решение. Изначально соль составляет 1%, или ¹/₁₀₀, от 100 г раствора, то есть 1 г. После испарения этот же 1 г составляет 2%, или ¹/₅₀, уже от нового количества раствора. Это количество мы найдем, умножив 1 г на 50.

5.

У Буратино было некоторое число монет, на которые он мог купить либо букварь, либо курточку. Вместо этого он закопал их на поле чудес, которое ежемесячно приносило 25% дохода. Через сколько месяцев Буратино сможет купить и букварь, и курточку?

Ответ Решение

Ответ. Через 4 месяца.

Решение. Пусть у Буратино n монет. Каждый месяц число монет увеличивается на 25%, то есть в 1,25, или ⁵/₄ раза (по сравнению с предыдущим месяцем, а не с самым началом!). Через месяц у него будет ⁵/₄x монет, еще через месяц – уже (⁵/₄₎²·x = ²⁵/₁₆·x монет, потом ⁵/₄·²⁵/₁₆·x = ¹²⁵/₆₄·x, и наконец, через 4 месяца ⁵/₄·¹²⁵/₆₄·x = ⁶²⁵/₂₅₆·x > 2x. Теперь у Буратино более чем в два раза больше денег, чем было изначально, и он наконец-то может купить и букварь, и курточку.

6.

Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за то же время делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

Ответ Решение

Ответ. Отгадай победит.

Решение. Пусть Отгадай прыгает за один прыжок на S, тогда Угадай за один прыжок прыгает на 0,7S. Если Отгадай за отведенное время делает n прыжков, то Угадай за это же время делает 1,3n прыжков. Поэтому за отведенное время Отгадай преодолеет расстояние S·n, а Угадай 0,7S·1,3n = 0,91S·n < S·n. Поэтому Отгадай победит.

7.

Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе?

Ответ Решение

Ответ. 4 девочки и 16 мальчиков.

Решение. Пусть изначально девочек было x человек, значит, всего в поход собиралось 4x человек. А на самом деле в поход пошло x − 1 девочек, а всего было 5·(x − 1) человек. Но общее количество участников похода не изменилось, значит, 4x=5·(x − 1). Отсюда найдем, что x=5. В походе же участвовало x − 1=4 девочки, а всего участников было 5·(x − 1)=20 человек. Тем самым мальчиков было 20 − 4=16 человек.

8.

Буратино предложил купить ириски. На что практичная Мальвина ответила: «Давай лучше купим леденцов. Купить их можно на 50% больше, а заплатить за них придётся больше только на 25%». Во сколько раз леденцы дешевле ирисок?

Ответ Решение

Ответ. В ⁶/₅ раза.

Решение. Пусть куплено m ирисок или n леденцов. На ириски потрачено p рублей, а на леденцы q рублей. Значит, одна ириска стоит ^p/_m рублей, а один леденец стоит ^q/_n рублей. При этом по условию n=1,5m и 1,25p=q. Перемножая эти два уравнения, получим 1,25pn=1,5mq, откуда ^qm/_pn=1,25:1,5=⁵/₆. Чтобы узнать, во сколько раз леденцы дешевле ирисок, найдем отношение их цен. Это отношение равно ^q/_n:^p/_m=^qm/_pn=⁵/₆. Это означает, что цена леденца составляет ⁵/₆ от цены ириски. Ириски, соответственно, стоят в ⁶/₅ раза дороже леденцов, а леденцы во столько же раз дешевле ирисок.

9.

Известно, что среди шестиклассников каждый седьмой — любитель кино, а среди любителей кино каждый пятый — шестиклассник. Кого больше: шестиклассников или любителей кино?

Ответ Решение

Ответ. Шестиклассников больше.

Решение. На одного шестиклассника-любителя кино приходится 4 «просто любителя кино» и 6 «просто шестиклассников». Значит, шестиклассников больше, чем любителей кино.

10.

Буратино, спасаясь от преследования Дуремара, пробежал уже ¹/₅ км. Если ему удастся пробежать 40% этого, то до укрытия под мостом останется всего ³/₇ того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Буратино?

Ответ Решение

Ответ. Еще 200 м.

Решение. 40% от 200 м – это 80 м. То есть если Буратино удастся пробежать еще 280 м, то до укрытия останется всего ³/₇ от этих 280 метров, то есть 120 м. Значит, Буратино еще предстоит пробежать 80+120=200 м.

11*

В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу?

Ответ Решение

Ответ. Скорее всего, 100 (а вообще могло быть и 200, и 5000, и 3000000 – главное, чтобы число делилось на 100).

Решение. Пусть работу писали x учеников. Тогда пятерки получили ⁷/₂₅·x ребят, четверки ⁷/₂₀·x, тройки ¹/₄·x и двойки ³/₂₅·x (см. задачу 1). Чтобы все эти числа были целыми, необходимо, чтобы число x делилось на 25, 20 и 4. Это условие выполняется, когда x делится на 100. Таким образом, ответом к задаче может служить любое число, кратное 100 (0, кстати, тоже). Но в трех классах навряд ли будет намного больше, чем 100 учеников, поэтому наиболее логичный ответ все-таки именно 100, а не 3000 и не 1024000000.

12*

Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Ответ Решение

Ответ. На 40%.

Решение. Пусть наша дробь имеет вид ^m/_n. Ее числитель увеличили на 20%, то есть в 1,2 раза. Пусть знаменатель уменьшился в x раз. Тогда ^1,2m/_x·n=2·^m/_n, откуда ^1,2/_x=2, x=0,6. Таким образом, знаменатель надо умножить на 0,6, то есть уменьшить на 40%.