МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 2. Разнобой

Биться до последнего!

1.

У пирата Димы был полный рюкзак тумаков. Сначала он встретил пленницу Аню и дал ей половину своих тумаков и еще полтумака. Потом он встретил старого пирата Сашу и отдал ему половину оставшихся тумаков и еще полтумака. После того, как он встретил попугая Кешу и снова отдал ему половину тумаков и еще полтумака, рюкзак опустел. Сколько тумаков было вначале?

Решение Ответ

Решение. "После того, как он встретил попугая Кешу и снова отдал ему половину тумаков и еще полтумака, рюкзак опустел." Значит, последние пол тумака, данные Кеше были второй половиной всех тумаков, которые были у Димы перед тем как он встретил попугая. Значит перед тем как он встретил Кешу, у Димы был 1 тумак. Проделывая такую же цепочку рассуждений получаем:
1)(1+0,5)*2=3 - Было у Димы прежде чем он встретил Сашу.
2)(3+0,5)*2=7 - Было у Димы прежде чем он встретил Аню.

Ответ. 7 тумаков.

2.

Капитан задал замысловатую задачу. В результате количество пиратов, решивших эту задачу, оказалось равным количеству пленниц, ее не решивших. Кого в классе больше – решивших задачу или пленниц?

Решение Ответ

Решение. Пленницы = Пленницы Решившие + Пленницы не Решившие = Пленницы решившие + Пираты Решившие = Решившие Задачу

Ответ. Количество пленниц равно количеству решивших задачу.

3.

На столе стоят 6 стаканов, причем три из них дном вверх, а три – дном вниз. Пираты договорились переворачивать любые два из них. Смогут ли они поставить все стаканы дном вниз?

Решение Ответ

Решение. Заметим, что при перевороте любых 2-х стаканов количество стаканов, стоящих дном вниз изменяется либо на 0, либо на 2, а значит четность их количества не меняется. Следовательно, т.к. 3 - нечетное число, а 6 - четное, то пираты не смогут перевернуть все стаканы дном вниз.

Ответ. Не смогут.

4.

Пленница Аня от скуки на корабле стала вставлять ноль между цифрами двузначных чисел. И случайно получила из исходного числа число в семь раз большее. Найдите все такие числа.

Решение Ответ

Решение. Запишем условие как: 7·(10a + b)=100a + b. Получим:
70a + 7b=100a + b
6b=30a
b=5a
А так как a и b - цифры, то b=5, a=1.

Ответ. 15.

5.

На корабле две длинных лестницы. Высота первой 13м, а ее длина (по горизонтали) – 20м; у второй соответственно 11м и 22м. Обе лестницы покрыты ковровыми дорожками. Какая из дорожек длиннее, если на первой лестнице ступенек вдвое меньше, чем на второй?

6.

Пираты Вася и Петя порвали карту, причем Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася на 9. При попытке собрать карту нашли 1999 обрывков. Докажите, что нашли не все обрывки.

Решение

Решение. Заметим, что когда Петя рвет кусок карты, то он увеличивает их количество на 4, а когда рвет Вася, то он увеличивает их количество на 8. Тогда, как бы они ни рвали карту, количество кусков увеличится на число кратное 4. Они нашли 1999 обрывков. Если это все обрывки, то они увеличили количество на 1998 частей. 1998 не делится на 4, а значит они собрали не все куски.

7.

Пират Саша, вернувшийся из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути он пересек границы своего родного края 13 раз. Верите ли Вы ему?

Решение

Решение. Так как Саша вернулся туда, от куда он уезжал, то пересечения границы его края родного можно разделить на 2 равные части: приезды и отъезды. А значит количество пересечений границы должно быть кратно 2. А значит Саша лжец.

8.

Встретились несколько пиратов, и каждый из них заявил всем остальным: "Вы все лжецы". Сколько правдивых пиратов могло быть среди них?

Ответ Решение

Ответ. Не более одного.

Решение. Предположим, что правдивых пиратов было более одного, тогда их хотя бы два и каждый из них назвал другого лжецом, а значит он солгал, а значит они не правдивы. Полученное противоречие доказывает, что среди этих пиратов было не более одного правдивого.