МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Математический лабиринт

Геометрия

1.

Точка М лежит внутри треугольника АВС. Сравните углы АВС и АМС.

2.

Докажите, что отрезок, заключённый между двумя сторонами треугольника, меньше наибольшей из его сторон.

3.

Дан угол и точка на нём. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку.

4.

Построить треугольник по трём медианам.

5.

Докажите, что отрезок, полностью заключённый внутри треугольника, меньше наибольшей из его сторон.

6.

Построить касательную к окружности из данной точки.

Игры

1.

Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

2.

Имеется две кучки камней по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

3.

Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает?

4.

В игре «Кто первым назовёт число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9, и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовёт число 100.

5.

Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитываем результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй.

6.

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведённых ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Комбинаторика

1.

На плоскости дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

2.

Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

3.

Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трём карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

4.

Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка?

5.

Дан шестизначный номер телефона. Из скольких семизначных номеров его можно получить вычеркиванием одной цифры?

6.

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешали. Чему равна вероятность того, что наудачу выбранный кубик имеет ровно одну окрашенную грань?

Инварианты

1.

На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

2.

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

3.

В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ» и «МОО»?

4.

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

5.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

6.

В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной из стран A может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве граничащих со страной А стран правит не та партия, которая правит в стране А. Докажите, что смены правительств не могут продолжаться бесконечно.

Логика

1.

За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра будет дождь», — подумал Петя. Прав ли он?

2.

Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: — Лжец.
В: — Я хитрец!
С: — Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

3.

Известно, что каждый третий философ — математик, а каждый пятый математик — философ. Кого больше: философов или математиков?

4.

В коробке лежат шарики: 10 красных и 10 синих. Продавец, не глядя, достаёт по одному шарику. Сколько шариков ему нужно вытащить, чтобы среди них обязательно нашлась пара шариков одного цвета?

5.

Является ли старейший шахматист среди музыкантов старейшим музыкантом среди шахматистов? Является ли лучший шахматист среди музыкантов лучшим музыкантом среди шахматистов?

6.

Назовём занятие Малого Мехмата лёгким, если в каждой аудитории найдётся человек, который решил все задачи. Сформулируйте определение сложного занятия.

Разные задачи

1.

Диагонали разбивают трапецию ABCD (BC || AD) на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам (AB и CD), имеют одинаковую площадь.

2.

На столе лежат 5 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно взять два разных фрукта?

3.

Докажите, что произведение любых трёх подряд идущих натуральных чисел делится на 6.

4.

Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов.

5.

Можно ли прямоугольную доску 5×9 распилить на «уголки»?

6.

Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодрствующим?

7.

С помощью карандаша и линейки нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки.

8.

Какие из приведённых слов имеют ось симметрии: ТОПОТ, СОН, СЕНО, ВЕС, ТОН, ЭХО, СОСНА, СОК?

9.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?