МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 12

1.

Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нем 20 членов) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один — взяточник. Сколько в правительстве взяточников?

2.

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?

3.

Сто человек сидят за круглым столом, причём больше половины из них — мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

4.

Каждую из трёх котлет нужно пожарить на сковороде с двух сторон, на каждую сторону уходит пять минут. На сковороде умещается только две котлеты. За какое наименьшее время можно изжарить все три котлеты? (Временем на переворачивание и перекладывание котлет пренебречь.)

5.

Прорежьте в тетрадном листе дырку такого размера, чтобы Вы сами могли в неё пролезть.

6.

Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лодка вмещает одного человека, а с ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест козу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти свой груз через речку?

7.

На какое наименьшее число кусков нужно разрубить проволоку длиной 120 см, чтобы из них (изгибая их, но не ломая) можно было собрать каркас куба со стороной 10 см?

8.

В тридесятом королевстве у каждого зáмка и каждой развилки сходятся три дороги. Рыцарь выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. Докажите, что его маршрут зациклится.

9.

Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных в виде куба 3×3×3. Из любой комнаты можно перейти в любую соседнюю (через любую стену, пол или потолок). Исследователь лабиринта находится в центральной комнате. Сможет ли он пройти по всем комнатам, не проходя ни одной комнаты дважды?

10.

Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне (а не на её продолжении).

11.

В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?