МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2007/2008 учебный год

Листок 14

1.
Население Китая превышает один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1000000 (в 1 см 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли Вы объяснить это противоречие?
2.
Что больше: 9920 или 999910? Почему?
3.
С помощью карандаша и линейки нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки.
4.
Король со свитой движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает гонцов в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б?
5.
Как разложить 552 гири весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 552 г на три равные по весу кучки?
6.
В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40°.
7.
На столе лежат несколько одинаковых бумажных листов прямоугольной формы, причём верхний лист покрывает больше половины площади каждого из остальных листов. Можно ли воткнуть булавку так, чтобы она проколола все листы?
8.
Найдутся ли такие 5 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?
9.
а)
Стороны четырёхугольника ABCD касаются одной и той же окружности. Может ли быть, что AB = 1 см, BC = 2 см, CD = 3 см и DA = 4 см?
б)
Стороны пятиугольника ABCDE касаются одной и той же окружности. Может ли быть, что AB = 1 см, BC = 2 см, CD = 3 см и DE = 4 см, EA = 5 см?
10.
Какое наименьшее число клеток белой доски размером 10×10 клеток нужно закрасить в чёрный цвет, чтобы на ней не осталось ни одного белого «уголка», состоящего из трёх клеток доски?
11.
Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причём сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?