МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2007/2008 учебный год

Версия для печати

Листок 7

Если a и b — целые числа, причём b<0, то существуют такие целые числа q и r, что a=bq+r и 0≤r<b. Числа q и r определены однозначно для каждых a и b. Число r называется остатком от деления a на b.
1.
Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 1 доллару 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен сказал, что с него 20 долларов 50 центов. Ковбой Джо застрелил бармена. Докажите, что было за что.
2.
Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
3.
Про заданные семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.
4.
Докажите, что для любого натурального n найдутся n подряд идущих составных натуральных чисел.
5.
Найдите p, если: а) p, p + 10, p + 14 — простые числа; б) p, 2p + 1, 4p + 1 — простые числа.
6.
Найдите остаток от деления на 7 произведения 7778×7779×7780×7781×7782×7783.
7.
Стёпа играл в солдатиков. Сначала он попытался построить их парами, но один солдатик оказался лишним. Тогда Стёпа стал строить солдат тройками, но снова один остался. Та же история повторялась и при построениях по 4, по 5 и по 6. Стёпа уже приготовился выбрасывать непослушного, но тут ему наконец удалось построить всех в колонну по 7. Сколько солдат могло быть у Стёпы, если их было меньше 1000?
8.
Докажите, что а) квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8; б) квадрат целого числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
9.
Сумма квадратов двух целых чисел делится на 9. Докажите, что каждое число делится на 3.
10.
Решите в целых числах уравнение

11.
Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
12.
Даны сорок чисел, ни одно из которых не делится на 5. Докажите, что сумма их сороковых степеней делится на 5.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS