МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Сколькими способами в классе из 20 человек можно выбрать а) старосту; б) старосту и его заместителя?
 

а) Сколько сторон и диагоналей выходят из одной вершины правильного n-угольника?
б) Сколько всего сторон и диагоналей у выпуклого n-угольника?
 

а) Сколькими способами можно выбрать двух дежурных в классе из 20 человек? б) Сколькими способами можно выбрать 18 дежурных в том же классе?
 

Сколько существует пятизначных чисел?
 

Сколько существует пятизначных чисел, среди цифр которых а) нет двоек; есть хотя бы одна тройка?
 

Сколькими способами можно выстроить в шеренгу 5 спортсменов?
 

Буквы кодируют последовательностями длины n, составленными из нулей и единиц. Каким должно быть n, чтобы такими последовательностями можно было закодировать а) все буквы латинского алфавита; б) все буквы русского алфавита? (Разным буквам должны соответствовать разные коды).
 

Меню школьной столовой постоянно и состоит из 12 блюд. Петя обедает в школьной столовой каждый день (даже в выходные и на каникулах). а) Может ли он за все 11 лет обучения ни разу не повторить набор блюд? б) А если Петя останется на второй год или это сделает вся страна, перейдя на 12-летнее обучение?
 

Число способов выбрать k дежурных в классе из n человек называют числом сочетаний из n по k и обозначают C_n^k. Говоря математическим языком, C_n^k — это количество k-элементных подмножеств n-элементного множества.
а) Вычислите C₆³.
б) Докажите равенство C_n^k = C_n^{n - k}.
в) Докажите равенство C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^k–1.
г) Докажите равенство C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ... + C_n^n-1 + C_nⁿ = 2ⁿ.
д) Докажите равенство C_n^k = (n!)/(k!(n-k)!), где m! = 1 · 2 · 3 · ... · m.