МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Можно ли квадрат разрезать на прямоугольники, никакие два из которых не имеют общей стороны?
 

Верно ли, что при любом целом n число n² + n + 41 простое?
 

Дан круг и несколько прямоугольников, сумма площадей которых в 1000 раз больше площади круга. Можно ли покрыть данный круг этими прямоугольниками?
 

Король хочет построить шесть крепостей и соединить каждую крепость со всеми другими прямолинейными дорогами так, чтобы образовались всего лишь три перекрёстка, а на каждом перекрёстке пересекались только две дороги. Сможет ли он это сделать?
 

Существует ли многоугольник и точка а) внутри; б) вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком?
 

Хордой многоугольника называют отрезок с концами на границе многоугольника, лежащий внутри многоугольника. Для всякого ли многоугольника существует хорда, делящая его площадь пополам?
 

Значение многочлена P(x) при любом целом x — целое число. Верно ли, что все коэффициенты этого многочлена целые?
 

Существует ли четырёхугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, который можно прямолинейным разрезом разбить на два равных многоугольника?

Дополнительные задачи

Каждая точка пространства окрашена в один из трёх цветов. При этом оказалось, что на любой прямой присутствуют не более двух цветов. Следует ли отсюда, что какой-то из этих трёх цветов при раскраске не был использован?
 

Можно ли разрезать квадрат на остроугольные треугольники?