МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Найдите остаток от деления 5¹⁰⁰ на 3.
 

Докажите, что из любых 11 натуральных чисел можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.
 

Докажите, что из любых 7 натуральных чисел можно выбрать два числа, у которых либо разность, либо сумма делится на 10.
 

Можно ли выбрать более 50 различных двузначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?
 

а) Докажите, что в любой компании из шести человек найдутся либо три попарно знакомых, либо три попарно незнакомых человека.

б) А если в компании всего пять человек?
 

На листе бумаги отметили 17 точек и соединили каждые две из них белым, жёлтым или чёрным отрезком. Докажите, что из любой точки выходит не менее шести одноцветных отрезков. (Указание. Сначала докажите, что найдутся три точки в вершинах одноцветного треугольника.)
 

В стране из 10 городов проведены 30 дорог (каждая дорога соединяет какие-то два города).
а) Докажите, что найдутся три города, попарно соединённые друг с другом дорогами.

б) Найдутся ли такие три города, если дорог 20?
 

На одной стороне прямой улицы стоят несколько домов. В каком месте улицы нужно сделать автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до всех домов была наименьшей?