МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 11 (17 декабря 2016 года)

1.

Вася отметил на плоскости точку невидимыми чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить на плоскости прямую и узнать у Васи, по какую сторону от прямой находится точка. Какое наименьшее число вопросов ему потребуется, чтобы узнать, находится точка внутри квадрата или вне его?

2.

Поставьте вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.

3.

Тринадцатиугольный торт разрезали по нескольким непересекающимся диагоналям так, что все куски получились треугольными. Сколько кусков могло получиться?

4.

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку (т.е. выходили из одной вершины или пересекались внутри многоугольника).

5.

На шахматной доске стоят 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что число ладей, стоящих на чёрных полях, чётно.

6.

После завершения волейбольного турнира по круговой системе (каждая команда играет с каждой) оказалось, что никакая команда не проиграла всех встреч. Докажите, что найдутся команды A, B и C такие, что A выиграла у B, B выиграла у C, а C — у A.

Дополнительные задачи

7.

Можно ли раскрасить рёбра куба в чёрный и белый цвета так, чтобы из любой вершины можно было перейти в любую другую, двигаясь только по чёрным рёбрам, и в то же время из любой вершины можно было перейти в любую другую, двигаясь только по белым рёбрам?

8.

При каких n гирьки 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по весу кучки?

9.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном 111-угольнике. После каждого своего хода игрок платит противнику столько рублей, сколько старых диагоналей пересекла новая. Кто из игроков может заведомо не остаться в проигрыше?