МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 5 (29 октября 2016 года). Рыцари и лжецы

1.

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого: „Сколько рыцарей среди твоих спутников?” Первый ответил: „Ни одного”, второй ответил: „Один”. Что сказал третий?

2.

Путешественник, попавший на остров рыцарей и лжецов, встретил четырёх островитян и задал им вопрос: „Кто вы?” Он получил такие ответы:
Первый: „Все мы лжецы”.
Второй: „Среди нас один лжец”.
Третий: „Среди нас два лжеца”.
Четвёртый: „Я ни разу в жизни не соврал, и сейчас не вру”.
Путешественник сразу сообразил, кем является четвёртый островитянин. Как он это сделал?

3.

Трое жителей острова, A, B и C, разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо иностранец спросил у A: „Вы рыцарь или лжец?” Тот ответил, но так неразборчиво, что иностранец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у B: „Что сказал A?” „A сказал, что он лжец,” — ответил B. „Не верьте B! Он лжёт!” — вмешался в разговор островитянин C. Кто из островитян B и C рыцарь, а кто лжец?

4.

а)

Однажды на острове судили трёх обвиняемых, о которых известно, что среди них один иностранный шпион (может говорить так, как ему удобно — иногда говорит правду, иногда врёт), один рыцарь и один лжец (но неизвестно, кто есть кто). Они дали следующие показания:
Первый: „Третий обвиняемый — лжец”.
Второй: „Первый обвиняемый — рыцарь”.
Третий: „Я шпион”.
Кто шпион?

б)

В другой раз иностранцы заслали на остров более хитрого шпиона под кодовым обозначением C. Он опять попался в компании двух островитян, назовём их A и B. Суду известно лишь, что среди троих подозреваемых один рыцарь, один лжец и один шпион (однако суд не знает, что шпион — C). A и B дали следующие показания:
A: „Я не шпион”.
B: „Я шпион”.
После этого судья спросил у C: „Действительно ли B шпион?” Что должен ответить C, чтобы его на основании этих данных суд не смог выявить шпиона?

5.

Социологи опросили всех жителей острова. При этом опросе некоторые аборигены заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные — что на острове нечётное число лжецов. Чётно или нечётно число жителей острова?

6.

В одном из посёлков на острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из которых есть ровно один друг. Однажды утром каждый житель посёлка произнёс либо фразу „Мой друг — рыцарь”, либо фразу „Мой друг — лжец”, причём каждую фразу произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное количество пар друзей, в которых один друг — рыцарь, а второй — лжец.

7.

В теледебатах на острове участвовали 9 кандидатов с номерами от 1 до 9. Каждый кандидат заявил: „Кандидат, чей номер равен последней цифре квадрата моего номера, — рыцарь”. Впоследствии выяснилось, что не все кандидаты были лжецами, но и рыцарей среди них было не более трёх. Кто же рыцари?

Дополнительные задачи

8.

В зоопарке жили 200 попугаев. Однажды они по очереди сделали по одному заявлению. Начиная со 2-го, все заявления были таковы: „Среди сделанных ранее заявлений ложных — более 70%”. Сколько всего ложных заявлений сделали попугаи?

9.

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу „Все мои друзья — рыцари”, либо фразу „Все мои друзья — лжецы”, причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой — лжец.