МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 3 (15 октября 2016 года)

1.

В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?

2.

В кинотеатре 7 рядов по 10 мест в каждом. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний. Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.

3.

Докажите, что из любых пяти натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три.

4.

Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.

5.

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 метра. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 метра. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

6.

Дорога протяжённостью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

7.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Дополнительные задачи

8.

Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в четыре цвета так, чтобы клетки, стоящие на~пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее, чем в три цвета?

9.

В городе Котельниче 10000 телефонов, номера которых задаются четырехзначными числами. В центральном районе установлено более половины всех телефонов и нет телефона с номером 0000. Докажите, что хотя бы один из номеров центральных телефонов равен сумме номеров двух других телефонов.

10.

Шарообразная планета окружена 25 точечными астероидами. Докажите, что в любой момент на поверхности планеты найдется точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 11 астероидов.