МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6. Города и дороги

Нам любые дороги дороги ... Все дороги ведут в Рим.

1.

В деревне 9 домов. Известно, что у Гоши соседи Иван и Роман, Максим сосед Ивану и Михаилу, Виктор — Алексею и Андрею, а также по соседству живут Константин с Андреем, Иван с Михаилом, Константин с Алексеем, Михаил с Романом и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Гоша огородами пробраться к Андрею за яблоками?

2.

В Исландии 24 города. Сколько в ней дорог, если:

а)

из каждого города выходит 5 дорог;

б)

каждый город связан дорогой с каждым?

3.

На Кубе из каждого города выходит по 5 дорог и всего дорог 140. Сколько на Кубе городов?

4.

Есть 7 марсиан, у каждого из которых: а) по одной руке; б) по две руки; в) по три руки. Могут ли они взяться за руки так, чтобы свободных рук не было? г) А если этим 7 марсианам выдать на подмогу несколько семикласснков (каждого о двух руках), смогут ли они все вместе взяться за руки, чтобы свободных рук не осталось?

5.

В Ирландии из каждого города тоже выходит по 5 дорог. Может ли быть, что:

а)

всего городов в Ирландии 85;

б)

всего дорог в Ирландии 2013?

6.

В шахматном турнире, в котором каждый участник должен был встретиться с каждым, один шахматист заболел и не доиграл свои партии. Всего в турнире было проведено 24 встречи. Сколько шахматистов участвовало в турнире, и сколько партий сыграл выбывший участник?

7.

а)

Петя утверждает, что каждый учащийся его класса имеет разное число друзей в классе. Если известно, что в его классе больше одного человека, то может ли Петя быть прав?

б)

В классе 20 человек. Из них все, кроме Пети дружат ровно с 5 одноклассниками. Может ли Петя ни с кем не дружить?

8.

В Австралии из Сиднея выходит 9 дорог, из Дарвина одна дорога, а из остальных городов по 6 дорог. Докажите, что из Сиднея можно добраться до Дарвина.

9.

В некотором городе на любом перекрестке сходятся ровно 3 улицы. Улицы раскрашены в три цвета так, что на каждом перекрестке сходятся улицы трех разных цветов. Из города выходят три дороги. Докажите, что они имеют разные цвета.