МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1. Знакомство

1.

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

2.

На рисунке из спичек выложена корова, которая смотрит влево. Переложите две спички, чтобы она смотрела вправо.

3.

Поставьте в записи числа 1234 один знак так, чтобы получилось число:

а)

большее 30, но меньшее 40.

б)

большее 9, но меньшее 19.

4.

Четыре друга пришли с рыбалки. Каждые двое сосчитали сумму своих уловов. Получилось шесть чисел: 7, 9, 14, 14, 19, 21.

а)

Сколько всего рыб было поймано?

б)

Сможете ли вы узнать, каковы были уловы?

5.

Семь матрешек разной величины выставляют в ряд таким образом, чтобы сначала их размеры возрастали, а потом убывали. Например, если обозначить матрешек в порядке возрастания номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, то 1276543 — допустимая расстановка, а 7654321 и 1436752 — недопустимые. Сколько всего допустимых расстановок матрешек?

6.

На кружке каждая девочка знакома с 5 девочками и 6 мальчиками, а каждый мальчик с 7 девочками и с 4 мальчиками. Какое наименьшее количество школьников может быть на кружке?

7.

В наборе есть 31 палочка длиной 1 см, 2 см, ..., 31 см. Виталик собирает из палочек контур квадрата, после чего выкидывает эти палочки. Из оставшихся палочек собирает новый квадрат, и так далее. Какое наибольшее число квадратов удастся собрать Виталику?

8.

Клетчатый квадрат 2013×2013 разрезали на несколько прямоугольников (по границам клеток). Докажите, что среди них найдётся прямоугольник, периметр которого делится на 4.

9.

На плоскости проведены несколько прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке (такие прямые называются прямыми общего положения). Они разбивают плоскость на несколько областей. Доказать:

а)

что среди них найдется область, имеющая форму треугольника;

б)

что для любой прямой найдется прилегающая к ней область, имеющая форму треугольника.

10.

На кольцевой дороге установлено 10 светофоров. Каждую минуту они одновременно меняют цвет по следующему правилу: если два соседних (справа и слева) светофора горели одним цветом, то светофор между ними загорается этим же цветом, а если два соседних светофора горели разными цветами, то светофор между ними загорается третьим цветом. В начальный момент один светофор горел красным цветом, а остальные — зелёным. Может ли случиться, что через какое-то время все светофоры будут гореть жёлтым цветом?