МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год
Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)
Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Занятие 2. Множества

Запись A = {1, Ё, $} означает, что множество А состоит из элементов 1, Ё, $.
A ∩ B — пересечение множеств А и В — множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В.
A ∪ B — объединение множеств А и В — множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В.
A \ B — разность множеств А и В — множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В.
1.
Пусть A = {♦, ↕}, B = {↕, •, §}. Запишите пересечение и объединение этих двух множеств. Сколько в них элементов?
2.
Если A = {чётные числа}, B = {числа, которые делятся на 4}, C = {натуральные числа меньше 10}. Чему равны A∩B, A∩B∩C, B∩C, A∪B?
3.
Верно ли, что:
а)
(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C);
б)
A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C);
в) 
(A∪B)\C = (A\C)∪B;
г)
(A∩B)\C = (A\C)∩B?
Мощностью множества A называется количество его элементов (если оно не бесконечно). Обозначается |A|.
4.
Докажите, что для любых трёх множеств A, B, C выполнены равенства:
а)
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|;
б)
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |B∩C| − |A∩C| + |A∩B∩C|.
5.
На полу площадью 12 м2 лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 м2, другого — 4 м2, третьего — 3 м2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 м2. Все три ковра перекрываются на площади 0,5 м2.
а)
Какова площадь пола, не покрытая коврами?
б)
Какова площадь, покрытая только первым ковром?
6.
Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
7.
В комнате площадью 6 м2 постелили три ковра произвольной формы площадью 3 м2 каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей 1 м2.
8.
Антон, Яков и Инна решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества легких? Задачи, которые решили только двое, тоже бывают!
9.
Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех — Аня, меньше всех — Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока — 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех — Аня?
Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А — подмножество множества В, и пишут A⊂B.
10.
Сколько подмножеств у множества, содержащего: а) 2 элемента, б) 4 элемента, в) n элементов? г) Существует ли множество, у которого ровно 7 подмножеств?