МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год

Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов)

Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Группа А. Старший преподаватель Д. А. Удимов

Занятие 16. Неравенство треугольника

Для любых трёх точек А, В, С на плоскости выполнено неравенство AB+BC ≥ AC, которое обращается в равенство тогда и только тогда, когда точка В лежит на отрезке АС.
В частности, если точки A, B и C являются вершинами треугольника, верно строгое неравенство AB+BC > AC, называемое неравенством треугольника.

Муравей может ползать по всей обложке журнала, но только не по обложке. Как найти кратчайший для муравья путь от некоторой точки на первой обложке до некоторой точки на последней обложке?
К отрезку АB проведен серединный перпендикуляр a. Докажите, что если точки А и М лежат в одной полуплоскости относительно a, то АМ < BM.

1.

Докажите, что в треугольнике разность двух сторон меньше третьей.

2.

Расстояние от дома Васи до магазина 210 м, от магазина до футбольного поля 370 м, от футбольного поля до школы 420 м, а от дома до школы 1 км. А какое расстояние от дома Васи до футбольного поля?

3.

Дан треугольник со сторонами длины а, b, c, а m_c — длина медианы, проведенной к стороне c. Докажите, что (a + b − c)/2 < m_c < (a+b)/2.

4.

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше полупериметра, но меньше периметра.

5.

Докажите, что для любой точки М внутри треугольника АBC выполнено неравенство AM + BM < AC + BC

6

a): Докажите, что у выпуклого четырёхугольника сумма длин диагоналей больше полупериметра и меньше периметра. (Четырёхугольник называется выпуклым, если его диагонали пересекаются внутри него.)
б): Верны ли утверждения пункта а) для невыпуклого четырёхугольника?

7.

Найдите внутри выпуклого четырёхугольника точку, сумма расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.

8.

a): Стекло машины закрыто не до конца. Гусенице надо проползти из точки А на этом стекле с внутренней стороны в точку В на этом стекле с внешней стороны. Помогите ей найти кратчайший путь.
б): Красной Шапочке надо выйти из дома, дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, подождать там развозчика пирожков, купить пирожок и отнести его бабушке, живущей в другом доме. Где Красная Шапочка должна выйти к шоссе, чтобы её путь оказался минимальным?

9.

Две деревни находятся по разные стороны от реки, берега которой — параллельные прямые. В каком месте реки необходимо построить мост, перпендикулярный берегам, чтобы путь из одной деревни в другую был минимален?

10.

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя по самому короткому пути?