МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 5. Движение

При решении задач на движение лучше всего сразу обозначить все неизвестные величины переменными и записать условие при помощи уравнений. Помочь в этом может схема движения (пример ее составления приведен в решении задачи 5). Единственная формула, которая может понадобиться при составлении уравнений, — это определение скорости V = S/t (V — скорость, S — пройденный путь, t — время), а также получающиеся из него формулы S = V·t и t = S/V.

Следите за тем, чтобы все величины были выражены в одной системе единиц измерения. Если расстояния измеряются в метрах, а время в секундах, то скорость должна измеряться в метрах в секунду. Если же расстояния измеряются в километрах, а время в часах, то скорость должна измеряться в километрах в час. При составлении уравнений проверяйте, что в левой и правой частях стоят величины, измеряемые в одних и тех же единицах (чтобы не приравнивать, скажем, секунды и километры). При переводе величин из одной системы единиц в другую полезно помнить, что 10 м/с = 36 км/ч (проверьте это самостоятельно).

1.

Водитель машрутки знает: чтобы успеть доехать из Москвы в аэропорт «Шереметьево–2», не отстав от расписания, он должен ехать без остановок со скоростью 50 км/ч. Но поскольку на первой половине пути он попал в пробку, ему пришлось ехать со скоростью 25 км/ч. Однако на второй половине пути движение было свободное, и ему удалось проехать её со скоростью 100 км/ч. Успел ли он вовремя?

Ответ Решение

Ответ. Не успел.

Решение. Пусть расстояние от Москвы до аэропорта равно S км. По расписанию водитель должен проезжать это расстояние за время ^S/₅₀ часов. В действительности же первую половину пути он проехал за ^S⁄2/₂₅ часов. Заметим, что ^S⁄2/₂₅=^S/₅₀. А значит, все отведенное для поездки время водитель потратил на преодоление только первой половины пути, и ему никак не успеть вовремя.

2.

Обычно Вася ездит от дома до школы и обратно на автобусе, но сегодня вечером родители решили забрать его из школы на машине (машина едет той же дорогой, что и автобус), и Вася заметил, что за весь день он потратил на дорогу в полтора раза меньше времени, чем обычно. Во сколько раз автобус медленнее машины?

Ответ Решение

Ответ. В три раза.

Решение. Пусть расстояние от дома Васи до школы равно S км, скорость автобуса равна u км/ч, а скорость автомобиля равна v км/ч. Обычно Вася тратит на дорогу в обе стороны ^2S/_u часов. Сегодня же он потратил на дорогу в школу ^S/_u часов, а на дорогу домой ^S/_v часов. Общее же время в пути оказалось в полтора раза меньше, чем обычно. Это позволяет нам составить уравнение:

2·S	=	1,5·	(	S	+	S	)	.
u				u		v

Раскрывая скобки в левой части уравнения и деля обе части уравнения на S (расстояние от дома до школы предполагается ненулевым), получим:

2·S

=

1,5·S

+

1,5·S

⇒

2

=

1,5

+

1,5

⇒

0,5

=

1,5

⇒

v

=

1,5

=

3

.

u

u

v

u

u

v

u

v

u

0,5

3.

Петя выходит из дома в школу в восемь утра, а возвращается в половине третьего днем. Всю дорогу он идет пешком без остановок, причем в горку он идет со скоростью 3 км/ч, под горку — 6 км/ч, а по ровным участкам — 4 км/ч. Каково расстояние от его дома до школы, если занятия в школе длятся шесть часов?

Ответ Решение

Ответ. 1 км.

Решение. Пусть общая длина ровных участков равна x км, общая длина подъемов равна y км, а общая длина спусков равна z км. Тогда на дорогу в школу Петя тратит ^x/₄ + ^y/₃ + ^z/₆ часов. На обратном пути подъемы и спуски меняются ролями, поэтому обратный путь занимает у Пети ^x/₄ + ^y/₆ + ^z/₃ часов. Всего Петя отсутствует дома с 8:00 до 14:30, то есть шесть с половиной часов, из которых шесть он проводит на занятиях в школе. Значит, на дорогу в школу и из школы он в общей сложности тратит остальные полчаса. Составим уравнение:

(	x	+	y	+	z	)	+	(	x	+	y	+	z	)	=	0,5	.
	4		3		6				4		6		3

Из одного только этого уравнения мы, конечно, не сможем найти x, y и z, но это и не требуется: нас ведь спрашивают только о длине всего пути, а она равна x + y + z. Эту величину из уравнения несложно выразить. Для этого в левой части надо раскрыть (точнее, просто убрать) скобки и привести все слагаемые к общему знаменателю. После приведения подобных в числителе и сокращения дроби получим (x + y + z)/2 = 0,5. А отсюда получим x + y + z = 1 (км).

4.

Коля, сбегая вниз по спускающемуся эскалатору метро, насчитал 100 ступенек, а Ваня, который бежал вниз с такой же скоростью по поднимающемуся эскалатору, насчитал 300 ступенек. Сколько ступенек в видимой части эскалатора?

Ответ Решение

Ответ. 150 ступенек.

Решение.

Обозначим количество ступенек в видимой части эскалатора за n, скорость бега мальчиков за u ступенек в секунду, а скорость движения эскалатора за v ступенек в секунду (столько ступенек в секунду уезжают в невидимую часть эскалатора). За время, которое Коля тратит на спуск по эскалатору, то есть делает 100 шагов, эскалатор перемещается на оставшиеся n - 100 ступенек. Время, за которое это происходит, можно подсчитать двумя способами: 100/u = (n - 100)/v. Аналогично вычислим время, за которое Ваня спускается по поднимающемуся эскалатору: 300/u = (300 - n)/v (обратите внимание: Ваня, идя «навстречу» эскалатору, сделал больше шагов, чем ступенек в видимой части эскалатора, поэтому эскалатор за это время сдвинулся на (300 - n), а не на (n - 300) ступенек).

Из системы двух полученных таким образом уравнений надо найти n. Из первого уравнения получаем 100v = u·(n - 100), а из второго 300v = u·(300 - n). Подставим первое из этих выражений в левую часть второго, получим 3u·(n - 100) = u·(300 - n). Сократив обе части на u (скорость бега мальчиков, разумеется, положительна и, в частности, отлична от нуля, поэтому такое преобразование законно), получим уравнение на n, из которого легко найти, что n = 150.

5.

Речной трамвайчик тратит на дорогу от причала «Воробьевы горы» до причала «Парк им. Горького» в полтора раза меньше времени, чем он тратит, плывя с той же скоростью в обратном направлении. Однажды на пути от причала «Парк им. Горького» у него заглох двигатель, который смогли завести только через 20 минут. На сколько минут он опоздал на «Воробьевы горы»?

Ответ Решение

Ответ. На 25 минут.

Решение.

Обозначим за u собственную скорость речного трамвайчика, за v скорость течения, за S расстояние между двумя причалами, за t время между отходом от причала «Парк им. Горького» и поломкой, за L расстояние от места починки до причала «Воробьевы горы» (см. схему движения). При этом все расстояния будем выражать в километрах, все скорости — в километрах в час, а время будем измерять в часах.

На дорогу вниз по течению трамвайчик тратит S/(u + v) часов, тогда как на дорогу вверх по течению он тратит S/(u - v) часов. Тогда первое предложение условия дает нам уравнение: 1,5·S/(u + v) =S/(u - v).

До поломки трамвайчик проплыл (u - v)·t км вверх по течению. После поломки его 20 минут (то есть 1/3 часа) несло вниз по течению, и унесло его за это время на v/3 км. В момент, когда двигатель удалось снова завести, трамвайчик находился на расстоянии S - L от причала «Парк им. Горького». Отсюда получаем второе уравнение: S - L = (u - v)·t - v/3. (Будет легче понять, откуда берется это уравнение, если посмотреть на приведенную выше схему движения.)

Из двух уравнений, полученных выше, надо выразить разницу между реальным и запланированным временем движения трамвайчика от «Парка им. Горького» до «Воробьевых гор». Запланированное время, как было отмечено выше, равно S/(u - v) часов. Реальное время складывается из времени движения вверх по течению до поломки, времени движения вниз по течению после поломки и времени движения вверх по течению после починки. Проверьте самостоятельно, что разность этих времен равна t + 1/3 + L/(u - v) - S/(u - v) часов.

Из первого уравнения найдем, что u = 5v (убедитесь в этом сами). Теперь поделим обе части второго уравнения на (u - v). Получим

S - L	= t -	v	= t -	v	= t -	1
u - v		3·(u - v)		3·4v		12

Заметим, что интересующую нас разность можно записать в виде

t +	1	-	S - L	.
	3		u - v

Подставив значение последнего слагаемого, полученное выше, получим, что интересующая нас разность равна t + 1/3 - t + 1/12 = 5/12 (часа) = 25 (минут).

6.

Моторная лодка и катер состязаются в скорости на реке. При движении по течению катер затратил на всю дистанцию в полтора раза меньше времени, чем лодка, при этом лодка каждый час отставала от него на 8 км. А когда они плыли против течения, лодка затратила на ту же дистанцию в 2 раза больше времени, чем катер. Каковы скорости катера и моторной лодки?

Ответ Решение

Ответ. Скорость катера 20 км/ч, скорость лодки 12 км/ч.

Решение.

Пусть собственная скорость катера равна u км/ч, собственная скорость катера равна v км/ч, скорость течения равна w км/ч, а длина дистанции равна S км. Тогда можно составить систему уравнений:
1,5S/(u + w) = S/(v + w),
1·(u - v) = 8,
2S/(u - w) = S/(v - w)
(второе уравнение получается из того соображения, что скорость отставания лодки от катера равна (u - v)). Первое и третье уравнения системы можно поделить на S, тогда эта переменная в систему входить вообще не будет.

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Ее можно решать, например, так. Из второго уравнения u = v + 8. Подставив это в первое уравнение, получим v + w = 16 (проверьте!), откуда w = 16 - v. Подставляя полученные выражения для u и w в третье уравнение, найдем, что v = 12 (км/ч) — скорость моторной лодки. А тогда u = v + 8 = 20 (км/ч) — скорость катера.

7.

Катер плывет вверх по реке. Проплывая под мостом, он потерял спасательный круг. Через 10 минут экипаж обнаружил потерю и развернул катер. Какова скорость течения реки, если круг они догнали в одном километре от моста?

Ответ Решение

Ответ. 3 км/ч.

Решение.

Обозначим собственную скорость катера за u, скорость течения — за w, а расстояние, пройденное катером после разворота, — за S. Расстояние S равно сумме расстояния, пройденного катером до разворота, и одного километра, который проплыл круг от моста. Отсюда получим первое уравнение:
S = (1/6)·(u - w) + 1.

Время, прошедшее от потери круга до его обнаружения, равно 1/w (это время, в течение которого круг проплыл по течению 1 км). В то же время оно складывается из 10 минут (т. е. 1/6 ч) , которые катер плыл до разворота, и времени его движения вниз по течению после разворота. Таким образом, получаем второе уравнение:
1/w = 1/6 + S/(u + w).

Из системы двух полученных уравнений надо найти значение w. Например, это можно сделать, подставляя выражение для S из первого уравнения во второе и решая полученное уравнение относительно w (все слагаемые, содержащие u, при этом сократятся). Проделайте это самостоятельно и убедитесь, что w = 3.

Чтобы лучше разобраться в приведенном решении, нарисуйте схему движения к этой задаче по аналогии с тем, как это сделано при решении задачи 5.