МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 12. Задачи на повторение

1.

Как вы думаете, всегда ли хоть одно из четырех последовательных натуральных чисел делится:

a)

на 2;

b)

на 3;

c)

на 4;

d)

на 5?

2.

Сколькими способами можно выбрать одну гласную и одну согласную букву из слов «МАЛЫЙ МЕХМАТ»?

3.

a)

Сколькими способами Дима сможет покрасить пять елок в серебристый, зеленыйй и синий цвета, если краски у него сколько угодно, а каждую елку он красит только в один цвет?

b)

У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, синий, желтый и золотой. Сколькими способами он смоет украсить ими пять елок, если на каждую елку требуется надеть ровно один шарик?

c)

А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

4.

Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных «симпатичных» чисел?

5.

Из натуральных чисел от 1 до 2n выбрали (n + 1) число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два числа, одно из которых делится на другое.

6.

Делится ли число (10²⁰¹⁰ + 8) на 9?

7.

В треугольнике длины двух сторон равны, соответстенно, 3,14 и 0,67. Найдите длину третьей стороны, есил известно, что она выражается целым числом.

8.

Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

9.

Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодрствующим?

10.

n разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о ценности той или иной доли добычи, и каждый их них хочет получить по крайней мере ¹/_n долю добычи (со своей точки зрения). Как им разделить добычу, чтобы каждый остался доволен?