МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 8 класса
Руководитель Варвара Алексеевна Косоротова
2010/2011 учебный год
2010/2011 учебный год
Занятие 22. Математическая абака
Правила
Математическая абака — это командная игра-соревнование по решению задач. Все задачи выдаются для решения всем командам одновременно. Основным зачётным показателем в математической абаке является общее количество набранных очков (включая бонусы). В случае равенства очков у нескольких команд более высокое место занимает команда, имеющая большую сумму бонусов. При равенстве и этого показателя команды считаются разделившими места.
Решение задач
Каждой команде предлагается для решения 5 тем по 6 задач в каждой теме. Задачи каждой темы сдаются по порядку, от 1-й до 6-й (например, у команды не примут ответ на задачу №4, пока она не сдала ответы на задачи №1, №2 и №3 по этой же теме). На каждую задачу дается одна попытка сдать ответ. Если команда предъявляет правильный ответ на задачу, она получает за это цену задачи, а если ответ неправильный или неполный, команда получает 0 очков.
Цена первой задачи каждой темы — 10 очков, второй — 20, ..., шестой — 60 очков. Таким образом, не считая бонусов, команда может заработать за решение задач до 5·210 = 1050 очков.
Бонусы
Каждая команда дополнительно может заработать бонусы:
Окончание игры
На решение задач отводится 90 минут. Команда заканчивает игру, если у нее кончились задачи или истекло общее время, отведенное для игры.Задачи
Алгебра
Алгебра-10
Найдите все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.Алгебра-20
На сколько процентов треть половины больше половины девятой части?Алгебра-30
«То» да «это», да половина «того» да «этого» — сколько это будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?Алгебра-40
Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана. Надя и Саша разделили коробку чайных пакетиков поровну. Надя заварила 57 стаканов чая, а Саша — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в коробке?Алгебра-50
Какое наибольшее число пятниц может быть в году?Алгебра-60
Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые — через каждые 3 с. Всего было сделано 13 ударов (совпавшие удары воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?Геометрия
Геометрия-10
Точки A, B, C последовательно расположены на одной прямой и AB : BC = 3 : 4. Найдите отношение AB : AC.Геометрия-20
Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как 3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.Геометрия-30
Треугольник ABC — равнобедренный (AB = BC). Отрезок AM делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями AB и MC. Найдите ∠B.Геометрия-40
Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.Геометрия-50
Какой угол образуют минутная и часовая стрелка в 3 часа 5 минут?Геометрия-60
Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину отрезка АО, если ВО = 10 см.Комбинаторика
Комбинаторика-10
Сколько существует трехзначных чисел?Комбинаторика-20
На танцплощадке собрались 6 юношей и 6 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?Комбинаторика-30
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 54345, 17071)?Комбинаторика-40
В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?Комбинаторика-50
На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?Комбинаторика-60
Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?Текстовые задачи
Текстовые задачи-10
Три брата вернулись с рыбалки. Мама спросила у каждого, сколько они вместе поймали рыб. Вася сказал: «Больше десяти», Петя: «Больше восемнадцати», Коля: «Больше пятнадцати». Сколько могло быть поймано рыб (укажите все возможности), если известно, что два брата сказали правду, а третий — неправду?Текстовые задачи-20
Газету 10 раз сложили пополам (поочередно вдоль и поперек), после чего оторвали от нее 4 угла. Если теперь развернуть газету, то сколько в ней будет дырок?Текстовые задачи-30
В ящике лежат 100 тапок одного размера: по 50 правых и левых, из них 39 белых и 61 черных. Какое наименьшее число тапок надо «вслепую» достать из ящика, чтобы среди них при любой раскраске тапок наверняка оказалась пара (левый и правый) одноцветных?Текстовые задачи-40
Пятеро крестьян собрали урожай. Первый решил, что собрал больше остальных, и разделил между ними поровну 1/3 своего зерна. После этого второй решил поделиться с остальными, и сделал то же самое, что и первый. В результате весь урожай разделился поровну. Определите, сколько собрал каждый, если общий вес зерна 320 кг.Текстовые задачи-50
В однокруговом турнире по футболу (каждый с каждым сыграл ровно одну партию) участвовало 8 команд, которые набрали 15, 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка соответственно. За победу присуждалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?Текстовые задачи-60
Мальчики делили пряники. Первый мальчик взял d пряников и 1/16 остатка, второй взял 2d пряников и 1/16 нового остатка, третий взял 3d пряников и 1/16 нового остатка и т. д. Когда последний мальчик взял свою долю по тому же правилу, оказалось, что все пряники разделены поровну, и лишних пряников не осталось. Сколько было мальчиков?Числа
Числа-10
Числа 2007 и 1917 разделили с остатком на одно и то же число. В первом случае в остатке получилось 88, а во втором — 99. На какое число делили?Числа-20
Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись которого содержит все цифры от 0 до 5, и которое делится на все эти цифры (нуль не является натуральным числом).Числа-30
Коля, Илья и Иван регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день, Илья — каждый 7-й, Иван — каждый 5-й. 14 мая все ребята пойдут в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?Числа-40
Среди чисел 1, 2, ..., k ровно 223 числа, делящихся на 9, и ровно 250 чисел, делящихся на 8. Чему может равняться число k? Перечислите все возможные варианты.Числа-50
По кругу расставлены 10 красных и 15 синих фишек. Обозначим через p количество пар соседних синих фишек. Какие значения может принимать число p?Числа-60
Петя задумал четыре числа, попарно сложил их и выписал на доске пять из шести получившихся сумм. Эти суммы оказались равны 13, 15, 16, 20, 22. Чему может быть равна шестая сумма?Ответы
| Алгебра | Геометрия | Комбинаторика | Текстовые задачи | Числа | |
| 10 | 25 | 3:7 | 900 | 16, 17, 18 | 101 |
| 20 | 200% | 30°, 100°, 50° | 720 | 961 | 123540 |
| 30 | 200% | 36 | 900 | 90 | 27 августа |
| 40 | 56 | 9 | 19 рыжиков и 11 груздей | 84 кг, 89 кг, 49 кг, 49 кг, 49 кг | 2007 |
| 50 | 53 | 62,5 | 325 | 11 | от 5 до 14 |
| 60 | 18 | 10 см | n(n - 3)/2 | 15 | 19 |