МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 8 класса
2010/2011 учебный год
Занятие 11. Сколько будет 2×2, или Системы Счисления
Системой счисления с основанием p называется способ записи чисел «с использованием p штук цифр: 0, 1, 2, …, (p-1)». Так, если a0, a1, a2, …, an — цифры, то запись (an an − 1… a1 a0)p означает записанное в p-ичной (то есть с основанием p; оно обозначается нижним индексом) системе число an· pn + an − 1· pn − 1 + … + a1· p + a0. При p = 10 мы получим хорошо знакомую нам десятичную систему счисления, и основание 10, как правило, не указывается. Если p > 10, то цифры больше 9 заключают в скобки, чтобы отличить от многозначного числа. Например, (123)128 = 123, 1(23)128 = 1·128 + 23 = 151, (12)3128 = 12·128 + 3 = 1539, 123128 = 1·128² + 2·128 + 3 = 16643. Иногда, если таких цифр не очень много (например, в 16-ичной системе счисления), их обозначают латинскими буквами: (10) = A, (11) = B, (12) = C, (13) = D, (14) = E, (15) = F.
Естественным образом возникает вопрос о том, как переводить числа из одной системы счисления в другую. Чтобы перевести число из произвольной системы счисления в десятичную систему, надо просто применить определение системы счисления. Например, 1278 = 1· 8² + 2· 8 + 7· 80 = 64 + 16 + 7 = 8710. Несколько сложнее переводить число из десятичной системы счисления в какую-нибудь другую. Пример приведен после задачи №1. Чтобы перевести число из одной недесятичной системы счисления в другую недесятичную систему, можно сначала перевести его в десятичную систему счисления, а уже из нее в окончательную.
Предупреждение: ответы к задачам могут содержать опечатки!
- 1.
-
Запишите
- 1)
- 18149 в десятичной системе счисления;
- 2)
- 1010012 в десятичной системе;
- 3)
- 42163 в семеричной системе;
- 4)
- 6668 в десятичной системе;
- 5)
- 1845 в тринадцатеричной системе;
- 6)
- (10)9(11)12 в десятичной системе;
- 7)
- 15667 в пятеричной системе;
- 8)
- 28716 в четверичной системе;
- 9)
- 1221113 в девятеричной системе;
- 10)
- 1101100000112 в шестнадцатеричной системе.
Ответ. 1) 18149 = 1390;
2) 1010012 = 41;
3) 42163 = 2336327;
4) 6668 = 438;
5) 1845 = (10)(11)(12)13;
6) (10)9(11)12 = 1559;
7) 15667 = 636 = 100215;
8) 28716 = 647 = 220134;
9) 1221113 = 472=5749;
10) 1101100000112 = 3459 = (13)8316.
Пример. Решим пункт 7 этой задачи. Сначала переведем число 15667 в десятичную систему счисления: 15667 = 1· 7³ + 5· 7² + 6· 7 + 6 = 343 + 245 + 42 + 6 = 636. Теперь число 636 надо представить в виде 636 = a4 · 54 + a3 · 5³ + a2 · 5² + a1 · 5 + a0. В этом разложении участвуют степени пятерки только от 0 до 4: 54 = 625 < 636 < 3125 = 55. Поделим 636 на 54 = 625 с остатком. Неполное частное будет равно коэффициенту a4, а остаток — a3 · 5³ + a2 · 5² + a1 · 5 + a0 (подумайте, почему). Деление можно производить в столбик. Находим, что 636 = 1·625 + 11. Таким образом, a4 = 1. Теперь 11 будем делить с остатком на 5³ = 125. Ясно, что неполное частное будет равно 0, а остаток 11. Значит, a3 = 0. Деля 11 на 25, вновь получим остаток 11 и неполное частное a2 = 0. Далее, 11 = 2·5 + 1, откуда a1 = 2, a0 = 1. Записываем окончательный результат: 636 = 1 · 54 + 0 · 5³ + 0 · 5² + 2 · 5 + 1 = 100215.В системах счисления с произвольным основанием, как и в десятичной системе, можно выполнять сложение и умножение в столбик. Делается это соверщенно так же, как нас учили в начальной школе. Только следует помнить о количестве цифр в системе и вовремя переносить единицы в старший разряд. Например, 26 + 56 = 710 = 1· 610 + 110 = 116; 24 × 34 = 610 = 1· 410 + 210 = 124 и т.д. Но: 916 + 616 = 1510 = (15)16 = F16. Чтобы сложить или перемножить два числа, записанные в разных системах счисления, надо сначала перевести их в одну систему счисления.
- 2.
-
Вычислите в столбик:
- а)
- 10100112 + 11101102, 110110112 + 10111112;
- b)
- 1221213 + 2120123, 10112023 + 1120223;
- c)
- 3042345 + 2112345, 344212145 + 114023425;
- d)
- 1023417 + 2031147, 3217 + 3214.
Ответ. a) 11011011, 100111010; b) 1111210, 1201001; c) 1021023, 101324111; d) 305355, 31234 = 4327 = 219. - 3.
- Вы в начальной школе изучали таблицу умножения в десятичной системе счисления. Составьте таблицу умножения для систем счисления с основаниями 2, 3 и 5.
- 4.
-
Вычислите в столбик:
- а)
- 10012 × 10102;
- b)
- 12213 × 20123;
- c)
- 11223 × 1203;
- d)
- 10445 × 12345;
- e)
- 32145 × 1425;
- f)
- 1345 × 1324.
Ответ. a) 1011010; b) 1122022; c) 220110; d) 1411121; e) 1123043; f) 132010 = 1102204 = 202405. - 5.
-
Каким должно быть основание p системы счисления, чтобы в ней выполнялись равенства:
- а)
- 4p + 5p = 12p;
- b)
- 8p + 9p = 10p;
- c)
- 2p + 2p = 11p;
- d)
- 3p × 5p = 21p;
- e)
- 5p × 5p = 15p;
- f)
- 2p × 2p = 5p?
Решение. a) p + 2 = 12p = 4p + 5p = 4 + 5 = 9, откуда p=7. Отсальные пункты решаются аналогично. b) p=17. c) p=3. d) p=7. e) p=20. f) Такой системы нет. Если p>4, то 2p × 2p = 4p, а иначе 2p × 2p заведомо не однозначное. - 6.
-
Ваня, Веня, Вася и аля ехали на троллейбусе. От нечего делать Ваня сидел у окна и считал троллейбусные столбы.
Веня тоже считал столбы, но на другой стороне дороги.
— Ну и сколько вы насчитали? — спросил Вася, когда они вышли на остановке.
— Я насчитал ровно 100, — ответил Ваня.
— И я насчитал ровно 100, — ответил Веня.
— Не может быть! — усомнился Валя, который увлекался городским транспортом. — У Вани должно быть на 13 столбов больше, я гарантирую это!
— Может! — сказал Вася, увлекавшийся математикой. — Вы же считаете в разных системах счисления!
Определите, в каких системах счисления считали Ваня и Веня, если Валя считал в десятичной.Ответ. p = 7, q = 6.Решение. Пусть Ваня считал в системе с основанием p, а Веня — в системе с основанием q. Тогда Ваня и Веня насчитали 100p = p² и 100q = q² столбов соответственно. Из слов Вали следует, что p² − q² = (p − q)(p + q) = 13, поэтому p − q = 1, p + q = 13. В самом деле, число 13 имеет только делители 1 и 13, а p − q < p + q при натуральных p и q. Следовательно, p = 7, q = 6. - 7.
-
- а)
- Ваня утверждает, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда его запись в двенадцатеричной системе счисления оканчивается на одну из пяти определённых цифр. Прав ли Ваня?
- b)
- Веня утверждает, что число делится на 9 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами в его шестеричной записи, делится на 9. Прав ли Веня?
- c)
- Валя утверждает, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма цифр в его восьмеричной записи делится на 7. Прав ли Валя?
Решение.а) (an an − 1… a1 a0)12= an· 12n + an − 1· 12n − 1 + … + a1·12 + a0. В этой сумме все слагаемые, кроме последнего, заведомо делятся на 3, так что ее делимость на 3 зависит только от последнего слагаемого. Из двенадцати цифр на 3 делятся цифры 0, 3, 6 и 9. Ваня чуть-чуть ошибся: «определённых цифр» не пять, а четыре.
b) Веня прав. Доказывается это аналогично предыдущему пункту. Только надо понимать, что число, образованное двумя последними цифрами, тоже считается записанным в шестеричной записи.
c) Валя прав. (an an − 1… a1 a0)8 − (an + an − 1 + … + a1 + a0) = an·(8n − 1) + an − 1·(8n − 1 − 1) + … + a1·(8 − 1). Во всех слагаемых есть множитель 8k − 1, который обязтельно делится на 7 (убедитесь в этом самостоятельно), поэтому сумма цифр даёт тот же остаток от деления на 7, что и само число.
- 8.
-
В 1885 году Витторио Грюнвальд предложил так называемые нега-позиционные системы счисления, то есть системы
счисления с основанием p < 0. В такой нега-p-ичной системе используются цифры 0, 1, 2, …,
(-p), а число по-прежнему
записывается как (an an − 1… a1 a0)p = an · pn + an − 1· pn − 1 + … + a1· p + a0.
Запишите в десятичной системе числа 10 − 10, 1302 − 8, 192 − 10, (13)06 − 16. Будьте внимательны со знаками!
Ответ. 10 − 10 = − 10, 1302 − 8 = − 318, 192 − 10 = 12, (13)06 − 16 = 2334.
- 9.
-
Запишите 666 в нега-десятичной, 1204 в нега-шестнадцатеричной, 1408 в нега-десятичной и 57 в нега-двоичной
системах счисления.
Ответ. 666 = 746 − 10, 1204 = 554 − 16, 1408 = 19408 − 10, 57 = 1001001 − 2.
- 10.
-
Вася утверждает, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр в нега-десятичной записи
делится на 11. Прав ли Вася?
Ответ. Вася прав. Доказательство аналогично решению задачи 7с.