МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Тема 5. Игры

Первое занятие

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев? (LXXI Московская математическая олимпиада, 11 класс, № 6)

Второе занятие

1.

На числовой прямой в точке p стоит робот. Андрей и Степан играют в следующую игру. Андрей говорит расстояние, на которое должен переместиться робот, а Степан выбирает направление, в котором робот перемещается на это расстояние, и т. д. Найти все p, при которых Андрей может добиться того, чтобы за конечное число шагов робот попал в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Степана.

2.

Алиса и Базилио играют в следующую игру. Из мешка, в котором ровно 1331 монета, они по очереди берут монеты по такому правилу: Алиса начинает и первым ходом берёт одну монету, а при каждом следующем ходе игрок берёт либо столько же монет, сколько было взято последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

3.

На некотором поле шахматной доски стоит ферзь. Каспаров и Карпов играют в следующую игру. Они по очереди, начиная с Каспарова, передвигают ферзя на одно или несколько полей влево, вниз или сразу влево и вниз на одно и то же число полей (другими словами, ферзь ходит по шахматным правилам, но только в сторону левого нижнего угла). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Где должен вначале стоять ферзь, чтобы Каспаров мог обеспечить себе победу (укажите все благоприятные для Каспарова поля).

Третье занятие

1.

В квадрате ABCD лиса охотится за двумя зайцами. Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D, причём лиса бегает по всему квадрату со скоростью не больше v, а зайцы бегают только по контуру со скоростью не больше 1. В точке A находится заячья нора: заяц спасается, если попадает в неё в отсутсвие лисы. Если же в какой-то момент лиса и заяц оказываются в одной точке (возможно, в точке A), то лиса ловит зайца. Найти все v, при которых лиса ловит обоих зайцев.

2.

Игра „Ним“. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни по правилу: за один ход можно взять любое положительное число камней ровно из одной кучи. Проигрывает игрок, который не может сделать ход. Пусть кучек всего n и в них k₁, …, k_n камней. Найти условие на k₁, …, k_n, при котором первый игрок проигрывает при правильной игре второго.