МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Тема 2. Геометрия на клетчатой бумаге

Узлами сетки называются точки пересечения её вертикальных и горизонтальных линий. Площадь одной клетки считается равной 1.

Определение. Треугольник, вершины которого являются узлами сетки, называется простейшим, если ни внутри него, ни на его сторонах нет узлов сетки, кроме его вершин.

Лемма 1. Площадь любого простейшего треугольника равна ½.

Лемма 2. Любой треугольник с вершинами в узлах сетки можно разбить на простейшие.

Лемма 3. Любой многоугольник можно разбить на треугольники, вершины которых являются вершинами исходного многоугольника.

Следствие. Любой многоугольник с вершинами в узлах сетки можно разбить на простейшие треугольники.

Факт. Сумма углов n-угольника равна (n − 2)180°.

Пусть дан многоугольник с вершинами в узлах сетки. Обозначим через N_i число узлов сетки внутри многоугольника, а через N_e — на границе.

Лемма 4. В разбиении многоугольника на простейшие треугольники ровно 2N_i + N_e − 2 треугольников.

Теорема (Г. А. Пик, 1899). Площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки равна N_i + ¹/₂N_e − 1.

Лемма (правило параллелограмма). Если три вершины параллелограмма являются узлами сетки, то такова же и четвёртая вершина.

Теорема. Если n ≠ 4, то не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах сетки.

Эти леммы и теоремы предлагались в качестве задач на занятиях кружка.