МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Тема 4. Геометрические задачи на максимум и минимум

1.

Найдите внутри выпуклого четырёхугольника такую точку, что сумма расстояний от неё до вершин минимальна.

2.

Дан многоугольник, симметричный относительно точки O. Докажите, что для этой точки сумма расстояний до вершин многоугольника является наименьшей.

3.

Дана прямая l и две точки A и B, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой l. Найдите такую точку X на прямой l, что AX + BX принимает наименьшее значение.

4.

Найдите наименьшее значение выражения

.

5.

Задача Ферма – Торричелли. Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного треугольника является наименьшей.

6.

Задача Фаньяно. Дан остроугольный треугольник ABC. Для каких точек K, L и M, лежащих на сторонах BC, AC и AB соответственно, периметр треугольника KLM принимает наименьшее значение?

7.

Среди всех треугольников ABC с данными сторонами AC и BC найдите треугольник наибольшей площади.

8.

Задача Дидоны. Пусть Φ — фигура наибольшей площади среди всех фигур с заданной длиной границы L. Докажите, что

а)

Φ выпукла;

б)

если точки A и B разбивают границу Φ на две части одинаковой длины, то отрезок AB разбивает саму Φ на две части одинаковой площади;

в)

для любого такого отрезка AB и любой точки C на границе Φ угол ACB прямой;

г)

Φ — круг.

Дополнительная задача

Плоскость раскрашена а) в два; б) в три цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр.

Решение

Решение.

а) Возьмём равносторонний треугольник со стороной 1 метр. Среди его трёх вершин найдутся две одного цвета (принцип Дирихле).

б) Пусть плоскость раскрашена в красный, зелёный и синий цвета. От противного: допустим, что двух точек одного цвета на расстоянии 1 м нет. Пусть ABC и DAC — равносторонние треугольники с общей стороной BC:

Для определённости пусть точка A синяя. Тогда (поскольку все вершины треугольника ABC разноцветные) либо B красная, а C зелёная, либо наоборот. Следовательно, точка D синяя. Теперь повернём всю конструкцию вокруг точки A на угол, который мы выберем позднее.

Получаем, что точки D и D' обе синие. Теперь подберём угол поворота так, чтобы расстояние между D и D' было равно 1 м (точное значение угла равно ) и получим противоречие: две синие точки на расстоянии 1 метр.