МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 12 (11 февраля 2017 года)

1.

Можно ли сделать верным равенство К×О×Т = У×Ч×Ё×Н×Ы×Й, подставив вместо букв цифры от 1 до 9 (разным буквам должны соответствовать разные цифры)?

2.

Наташа сделала из листа клетчатой бумаги календарь на январь 2017 года (см. рисунок) и заметила, что центры клеток 10, 20 и 30 января образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Наташа предположила, что это будет верно и в любом другом году, за исключением тех лет, когда центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой. Права ли Наташа?

3.

Можно ли все натуральные числа от 1 до 100 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50?

4.

Разрежьте правильный треугольник на три одинаковых пятиугольника.

5.

На монетном дворе работают 10 рабочих. Монета должна весить 10 г, однако среди рабочих есть рационализаторы, которые делают монеты весом 9 г. Имеются электронные весы, которые позволяют узнать вес произвольного набора монет. Можно ли выявить обманщиков при помощи одного взвешивания на электронных весах

а)

если известно, что рационализатор ровно один;

б)

если рационализаторов может быть сколько угодно?

6.

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше, чем n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку. (Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. Две диагонали имеют общую точку либо если они исходят из одной вершины, либо если они пересекаются внутри многоугольника.)

Дополнительные задачи

7.

Найдите наибольшее шестизначное число, в записи которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

8.

Может ли число вида a0...09, где a — цифра, быть полным квадратом? (Между a и 9 должен быть хотя бы один ноль.)

9.

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?