МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2 (8 октября 2016 года)

1.

Разрежьте произвольный остроугольный треугольник на три трапеции.

2.

Какое наибольшее число ладей можно поставить а) на левую доску; б) на правую доску так, чтобы никакие две из них не били друг друга?

3.

Маша и Паша, поссорившись, пошли в противоположные стороны с равными скоростями. Через три минуты Паша решил помириться и стал догонять Машу, увеличив скорость в три раза. Через какое время он догонит Машу, считая с того момента, как решил помириться?

4.

На рисунке изображена «капелька» из двух полуокружностей радиуса 1 и одной радиуса 2. Разрежьте эту фигуру на а) две; б) три равные (и по площади, и по форме) части. в) На какое ещё количество равных частей можно разрезать эту фигуру?

5.

На чаепитие собралось 25 ребят. Каждый принес по два пирожных. Все пирожные разложили на 25 тарелок (по две штуки на тарелку). Докажите, что как бы ни были размещены пирожные, можно так раздать тарелки ребятам, что каждому достанется хотя бы одно пирожное, которое он сам принес.

6.

Имеется 9 одинаковых с виду монет. Какая-то из монет фальшивая, она легче настоящей. Одна монета (неизвестно — фальшивая или настоящая) прилипла к одной из чаш чашечных весов без гирь. Отдирать её некогда. Как за два взвешивания найти фальшивую монету?

7.

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.

Дополнительные задачи

8.

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

9.

Дима увидел в музее странные часы: на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы? (Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.)

10.

Раскрасьте клетки доски 7×7 в синий и красный цвета так, чтобы в любом квадрате 3×3 синих клеток было на одну больше, чем красных.