МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2016/2017 учебный год
Группа А

Занятие 9 (3 декабря 2016 года)

1.
Может ли прямая пересечь все стороны некоторого а) 2016-угольника; б) 2017-угольника не проходя при этом ни через одну из его вершин?
2.
а)
Может ли работа фирмы за любые 5 подряд идущих месяцев года быть прибыльной, а по итогам года — убыточной?
б)
Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет (т.е. по итогам любых 5 подряд идущих месяцев фирма получает прибыль, а по итогам каждого из шести лет — убыток)?
3.
Можно ли, двигаясь по отрезкам на рисунке 2, обойти все кружочки и вернуться в исходную точку, побывав на каждом кружочке ровно один раз?
4.
Отметьте как можно меньше вершин а) на рисунке 1; б) на рисунке 2 так, чтобы у каждой грани (включая внешнюю — бесконечную — грань) была бы хотя бы одна отмеченная вершина.
Рисунок 1Рисунок 2
5.
Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых? (Квадраты должны не перекрываться.)
6.
На складе стеклотары могут храниться банки из-под консервированных овощей по 0,5 л, 0,7 л и 1 л. Сейчас на складе имеется 2500 банок общей вместимостью 2016 л. Докажите, что на складе есть хотя бы одна поллитровая банка.

Дополнительные задачи

7.
На шахматной доске расставили 8 ладей так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали оказалось по одной ладье. Доску разбили на четыре квадрата 4×4. Верно ли, что в двух из них количества ладей равны?
8.
Какое наибольшее число клеток доски 9×9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?
9.
В игре «Десант» две армии захватывают страну. Они ходят по очереди, каждым ходом занимая один из свободных городов. Первый свой город армия захватывает с воздуха, а каждым следующим ходом она может захватить любой город, соединённый дорогой с каким-нибудь уже занятым этой армией городом, но при этом ещё не захваченный армией противника. Если таких городов нет, армия прекращает боевые действия (при этом, возможно, другая армия свои действия продолжает). Найдётся ли такая схема городов и дорог, что армия, ходящая второй, сможет захватить более половины всех городов, как бы ни действовала первая армия? (Число городов конечно, каждая дорога соединяет ровно два города.)

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS