МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 10 (10 декабря 2016 года). Игра «Ом-ном-ном»

Правила игры

1-й пакет

1.

(1 балл) Найдите какие-нибудь три натуральных числа x, y и z, удовлетворяющие условию 28x + 30y + 31z = 365.

Ответ

Ответ. Например, x = 1, y = 4, z = 7. Возможны и другие ответы!

2.

(2 балла) Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число мог задумать Вася? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 12.

3.

(2 балла) Иван Юрьевич жил в однокомнатной квартире. Комната была квадратной и длины её сторон выражались целым числом метров. Недавно он обменял её на двухкомнатную квартиру той же площади. Одна из комнат имеет площадь 7 м², а другая — вновь квадратная, и длина её стороны — целое число метров. Какая площадь этой квартиры?

Ответ

Ответ. 16.

4.

(2 балла) В номерах всех страниц словаря в общей сложности 492 цифры. Сколько страниц в словаре?

Ответ

Ответ. 200.

5.

(2 балла) Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь,» — отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» — опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять,» — отвечает тот. «Правильно,» — снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

Ответ

Ответ. 12.

6.

(3 балла) В строчку написано 37 чисел так, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 29. Первое число 5. Каким может быть последнее число? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 5.

2-й пакет

7.

(3 балла) Каждый из 12 человек — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо всегда лгущий лжец. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», ..., 12-ый: «Число лжецов среди нас делится на 12». Сколько среди них может быть рыцарей?

Ответ

Ответ. 3, 4 или 12.

8.

(3 балла) Оля задумала четыре целых числа, а затем нашла все их попарные суммы. Пять из них оказались равны 70, 110, 120, 180 и 230. Чему равна шестая сумма?

Ответ

Ответ. 190.

9.

(3 балла) В треугольнике длины всех сторон различны и выражаются целым числом сантиметров. Каким, самое меньшее, может быть периметр такого треугольника?

Ответ

Ответ. 9.

10.

(3 балла) В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

Ответ

Ответ. Каждый слон весит 5 тонн.

11.

(4 балла) Какое наибольшее количество слонов можно расставить на доске 4×4 так, чтобы каждый слон бил чётное число слонов? Нарисуйте, как это сделать.

Ответ

Ответ. 10 слонов.

12.

(4 балла) У Феди есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 — по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками — две цифры, между тройками — три, а между четвёрками — четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Федя.

3-й пакет

13.

(3 балла) В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Ответ

Ответ. В чашке лимонад, в стакане вода, в кувшине молоко, в банке квас.

14.

(4 балла) Четыре подружки поделили между собой 77 конфет, при этом каждой девочке досталось конфет или столько же, сколько какой-то из её подружек, или ровно в два раза меньше, чем одной из них. Как могли распределиться конфеты? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 11, 22, 22, 22 или 7, 14, 28, 28.

15.

(4 балла) Найдите углы треугольника, если известно, что градусная мера каждого из них — квадрат натурального числа.

Ответ

Ответ. 16°, 64°, 100°.

16.

(4 балла) Дан куб с ребром 2. Покажите, как наклеить на него без наложений 10 квадратов со стороной 1 так, чтобы никакие квадраты не граничили по отрезку (по стороне или её части). Перегибать квадраты нельзя. (В ответе нарисуйте развёртку куба с наклеенными квадратами.)

17.

(4 балла) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире №333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Ответ

Ответ. 3-й этаж.

18.

(5 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.

Ответ

Ответ. 36°, 36°, 108°.

4-й пакет

19.

(4 балла) Составьте из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, т.е. расставьте их в клетках квадрата 3×3 так, чтобы суммы чисел по строкам, по столбцам и по двум диагоналям были одинаковы.

20.

(5 баллов) На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Разре- шается вставить между некоторыми из них знаки «+» , а оставшиеся склеить в числа, так, чтобы сумма оказалась трёхзначным числом (например: 98 + 76 + 5 + 43 + 2 + 1 = 225). Какое наибольшее трёхзначное число может получиться?

Ответ

Ответ. 999.

21.

(5 баллов) Найдите наименьшее число, произведение цифр которого равно 2016.

Ответ

Ответ. 4789.

22.

(5 баллов) Хозяйка испекла кулебяку и хочет заранее разрезать её на такие (не обязательно равные) части, чтобы пирог можно было разделить поровну и на пятерых, и на семерых. Каким минимальным числом кусков она сможет обойтись?

Ответ

Ответ. 11 кусков.

23.

(5 баллов) Разбейте квадрат на треугольники так, чтобы каждый треугольник граничил (по отрезку) ровно с тремя другими.

24.

(6 баллов) Грузчики Коля и Петя носят ящики. Переноска маленького ящика занимает у Пети 1 минуту, а у Коли 3 минуты. Зато большой ящик Коля переносит за 5 минут, а Петя — за 6. Всего им нужно перенести 10 больших и 10 маленьких ящиков. За какое наименьшее время они смогут это сделать? (Нести несколько ящиков сразу нельзя, нести ящик вдвоём нельзя, меняться ящиками посередине пути тоже нельзя.)

Ответ

Ответ. 33 минуты.