МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 13 (19 декабря 2015 года). Про цифры

Известные в узких кругах факты:

1) Признак делимости на 3: если число делится на три, то его сумма цифр делится на три.

2) Признак делимости на 9: если число делится на девять, то его сумма цифр делится на девять.

Задачи:

1.

Ворчун задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

2.

На сколько нулей оканчивается число а) \(10!\); б) \(100!\) ?

3.

Найдите последнюю цифру числа: а) \(2001^{2001}\); б) \(549^{49}\); в) \(345673^{376543}\); г) \(77^{77^{77}}\).

4.

Найдите две последние цифры числа: а) \(1999^{2000}\); б) \(16^{2000}\).

5.

Найдите последнюю ненулевую цифру числа \(2000!\)

6.

Подсчитать сумму цифр числа \((999..99)^3\) (в скобке 2002 девятки).

7.

В числе \(A\) цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа \(9\cdot A\)?

8.

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?