МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 7 (7 октября 2015 года). Взвешивания

Пример. Есть три монеты. Среди них одна фальшивая (более тяжёлая). Как с помощью одного взвешивания на чашечных весах определить одну монету?

Решение. Взвешиваем первую и вторую монеты. Если одна из них тяжелее — это и есть фальшивая. Если монеты весят одинаково — то фальшивая третья монета.

1.

Есть 9 одинаковых на вид монет. Среди них одна фальшивая (более тяжелая). Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету?

2.

Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?

3.

Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса?

4.

Известно, что «медные» монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех «медных» монет (по одной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

5.

Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

6.

Четырьмя гирями продавец может взвесить любое целое число килограммов от 1 до 40 включительно. Общая масса гирь равна 40 кг. Какими гирями располагает продавец?

7.

В 10 сундуках лежат монеты. В девяти лежат настоящие (весом 10 г), а в одном фальшивые (весом 11 г). Одним взвешиванием на двухчашечных весах со стрелкой определить сундук с фальшивыми. (Весы со стрелкой показывают, на сколько «тяжёлая» чаша весов тяжелее «лёгкой».)

8.

Среди 201 монеты 50 фальшивых. Каждая фальшивая отличаеися от настоящей по весу на 1 грамм (в ту или в другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это сделать?