МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 9. Прямоугольные треугольники

1.

а)

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

б)

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

2.

а)

Найдите наибольшее возможное значение площади прямоугольного треугольника с гипотенузой \(c\).

б)

В треугольнике \(PQR\) сторона \(PQ\) не больше, чем 9, сторона \(PR\) не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найдите его медиану, проведенную из вершины \(P\).

3.

а)

Катеты прямоугольного треугольника относятся как \(5:6\), а гипотенуза равна 122. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

б)

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные \(a\) и \(b\). Найдите катеты.

4.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(B\) провели медиану \(BM\). Окружность, вписанная в треугольник \(ABM\), касается сторон \(AB\) и \(AM\) в точках \(K\) и \(L\). Известно, что прямые \(KL\) и \(BM\) параллельны. Найдите угол \(ACB\).

5.

а)

Точка касания гипотенузы и вписанной окружности прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки длин 2 и 3. Найдите стороны и площадь треугольника.

б)

Тот же вопрос для отрезков длин \(a\) и \(b\).

6.

В треугольнике \(ABC\) проведены биссектриса \(AL\), медиана \(BM\) и высота \(CH\). Треугольник \(HLM\) — равносторонний. Докажите, что треугольник \(ABC\) — равносторонний.

7.

На катетах \(AC\) и \(BC\) прямоугольного треугольника вне его построены квадраты \(ACDE\) и \(BCKF\). Из точек \(E\) и \(F\) на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры \(EM\) и \(FN\). Докажите, что \(EM + FN = AB.\)

Подсказка

Подсказка. Опустите перпендикуляр из вершины \(C\) на гипотенузу \(AB\).

8.

Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\), причём \(CH = C_1H\) и \(BH = 2B_1H\). Найдите угол \(BAC\).

Подсказка

Подсказка. Пусть \(M\) — середина \(BH\). Тогда четырёхугольник \(CB_1C_1M\) — параллелограмм.