МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 8. Пифагоровы треугольники

Прямоугольный треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами, называется пифагоровым треугольником.
Набор натуральных чисел \((a, b, c)\) называется пифагоровой тройкой, если \(a^2+b^2=c^2.\) То есть пифагорова тройка — это набор длин сторон некоторого пифагорова треугольника.

1.

Зная длины двух сторон пифагорова треугольника, найдите длину третьей стороны и выясните, какая из сторон является гипотенузой:

а)

3 и 5;

б)

24 и 25;

в)

8 и 15;

г)

5 и 13;

д)

9 и 41.

2.

Приведите пример пифагорова треугольника с заданной длиной гипотенузы:

а)

15;

б)

39;

в)

100;

г)

289.

3.

Докажите, что пифагоровых троек бесконечно много.

4.

а)

Существуют ли равнобедренные пифагоровы треугольники?

б)

Существуют ли пифагоровы треугольники с острым углом 30°?

5.

Может ли пифагорова тройка состоять из трёх нечётных чисел?

6.

а)

Какие остатки от деления на 4 могут давать квадраты целых чисел?

б)

Могут ли оба катета пифагорова треугольника иметь нечётные длины?

в)

Докажите, что площадь пифагорова треугольника всегда выражается целым числом.

7.

В некотором пифагоровом треугольнике длины сторон — взаимно простые числа (такой треугольник называется примитивным). Докажите, что длина гипотенузы примитивного пифагорова треугольника нечётна, а длины катетов— разной чётности.

8.

Сколько существует пифагоровых треугольников, в которых один из катетов равен:

а)

7;

б)

15;

в)

1;

г)

4;

д)

6?

Подсказка

Подсказка. Составьте и решите уравнение в целых числах с помощью теоремы Пифагора.

9.

Докажите, что для любого нечётного числа, кроме 1, существует пифагоров треугольник, в котором длина одного из катетов равна этому числу. Какие из этих треугольников заведомо не подобны друг другу?

10.

Докажите, что существует бесконечно много пифагоровых треугольников, не подобных друг другу.

11.

Докажите, что в пифагоровом треугольнике:

а)

длина одного из катетов делится на 3;

б)

длина одной из трёх сторон делится на 5;

в)

произведение длин катетов делится на 12.