МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 11. Центр масс

Определение. Центром масс системы точек \(X_1, ..., X_n\) с массами \(m_1, ..., m_n\) называют точку О, для которой выполняется равенство \[m_1\vec{OX_1} + \cdots m_n \vec{OX_n} = 0.\]
Теорема 1. Центр масс системы точек существует и единствен.
Теорема 2. Центр масс системы точек \(X_1,\cdots ,X_n, Y_1, \cdots, Y_m\) с массами \(a_1, \cdots , a_n\), \(b_1, \cdots , b_m\) совпадает с центром масс системы двух точек: центра масс \(X\) первой системы (\(X_1, \ldots, X_n\)) с массой \(a_1+\cdots a_n\) и центра масс \(Y\) второй системы (\(Y_1, \ldots, Y_n\)) с массой \(b_1 + \cdots + b_m\).

1.

На одном краю невесомой деревянной балки длиной 3 метра сидит отец массой 70 кг, на другом — его сын массой 30 кг. Где надо поместить точку опоры, чтобы балка была в равновесии?

2.

Дан треугольник \(ABC.\) \(BM\) — медиана, \(AN\) делит сторону \(BC\) в отношении \(\frac{1}{2}\) от вершины \(B.\) \(AN\) пересекает \(BM\) в точке \(O.\) Найти отношение \(BO:OM.\)

3.

Пусть \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a\). Точка \(P\) удовлетворяет условию \[\vec{PA} + 3\vec{PB} + 3\vec{PC} + \vec{PD} = \vec{0}.\] На каком расстоянии от центра квадрата находится точка \(P\)?

4.

На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) взята точка \(D\); на отрезке \(AD\) взята точка \(Z\). Известно, что \(BD = b,\,CD = c,\,AZ = a,\,ZD = d\). Какие массы следует поместить в вершины \(A, B\) и \(C\), чтобы точка \(Z\) стала центром масс получившейся системы?

5.

Поместив подходящие массы в вершины треугольника, докажите, что его биссектрисы пересекаются в одной точке.

6.

Внутри треугольника \(ABC\) взята точка \(Z\). Всегда ли можно разместить в вершинах треугольника некие массы так, чтобы точка \(Z\) стала центром масс получившейся системы?

7.

Пусть точка \(A_1\) лежит на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\), точка \(B_1\) — на стороне \(AC,\) а точка \(C_1\) — на стороне \(AB.\) Докажите, что отрезки \(AA_1, BB_1, CC_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} = 1.\]

8.

а)

Докажите, что если \(X\) — произвольная точка, а \(O\) — центр масс точек \(X_1, \cdots, X_n\) с массами \(m_1, \cdots, m_n\), то \[\vec{XO} = \frac{1}{m_1+\cdots+m_n}(m_1\vec{XX_1}+\cdots+m_n\vec{XX_n}).\]

б)

С помощью пункта а) докажите теорему 1.

9.

Докажите теорему 2.