МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 3. Бином и индукция

Представим \((a+b)^n\) в виде многочлена: \[ (a+b)^n = C_n^0 a^0 b^n + C_n^1 a^1 b^{n-1} + C_n^2 a^2 b^{n-2} + \ldots + C_n^{n-1} a^{n-1} b^1 + C_n^n a^n b^0. \] Такой многочлен называется биномом Ньютона, а получившиеся при мономах коэффициенты \(C_n^k\) называются биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов:
а) \(C_n^k = C_n^{n-k}\);
б) \(C_n^{k+1} = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k+1}\);
в) \(C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\);
г) \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \ldots + C_n^{n-1} + C_n^n = 2^n\).

Докажите следующие тождества:

1.

\(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \ldots + (-1)^{n-1} C_n^{n-1} + (-1)^n C_n^n = 0\).

2.

\(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1\).

3.

\((1 - \frac{1}{4})(1 - \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{16})\ldots (1 - \frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n}\).

4.

\(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots - (2n)^2 = -n(2n+1)\).

5.

\(1C_n^1 + 2C_n^2 + \ldots + (n-1)C_n^{n-1} + nC_n^n = n2^{n-1}\).

6.

\((C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + (C_n^2)^2 + \ldots + (C_n^n)^2 = C_n^{2n}\).

7.

\(\frac{m!}{0!} + \frac{(m+1)!}{1!} + \frac{(m+2)!}{2!} + \ldots + \frac{(m+n)!}{n!} = \frac{(m+n+1)!}{n!(m+1)}\).

8.

\(C_{m-1}^{m-1} + C_m^{m-1} + \ldots + C_{n+m-2}{m-1} + C_{n+m-1}^{m-1} = C_{n+m}^m\).

9.

Чему равно выражение \(C_p^0 C_q^m + C_p^1 C_q^{m-1} + \ldots + C_p^{m-1} C_q^1 + C_p^m C_q^0\)?