МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 10. Площади

1.

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равновеликие части.

2.

Точка \(X\) расположена внутри параллелограмма \(ABCD\). Докажите, что \(S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}\).

3.

Пусть \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) — середины сторон \(CD, DA, AB, BC\) квадрата \(ABCD\), площадь которого равна \(S\). Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми \(AA_1, BB_1, CC_1\) и \(DD_1\).

4.

Пусть \(E\) и \(F\) — середины сторон \(BC\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\). Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми \(AE\), \(ED\), \(BF\) и \(FC\), если известно, что площадь \(ABCD\) равна \(S\).

5.

Многоугольник описан около окружности радиуса \(r\). Докажите, что его площадь равна \(pr\), где \(p\) — полупериметр многоугольника.

6.

Докажите, что среди всех треугольников \(ABC\) с фиксированным углом \(\alpha\) и полупериметром \(p\) наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием \(BC\).

7.

На плоскости дана прямая \(m\) и два многоугольника — \(M_1\) и \(M_2\). Известно, что любая прямая, параллельная прямой \(m\), пересекает эти многоугольники по отрезкам равной длины. Докажите, что площади многоугольников \(M_1\) и \(M_2\) равны.

8.

На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) внешним образом построены параллелограммы; \(P\) — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных \(AB\) и \(BC\). На стороне \(AC\) построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна \(BP\). Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.

9.

Продолжения сторон \(AD\) и \(BC\) выпуклого четырехугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\); \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\), \(P\) и \(Q\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Докажите, что:

а)

\(S_{PMQN} = | S_{ABD} - S_{ACD}/2 |\);

б)

\(S_{OPQ} = S_{ABCD}/4\).