МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Вероятность - 2

Краткий план решения некоторых задач на вероятности смотри в предыдущем листке.

Первые две задачи скорее для тех, кто не знаком с темой или не очень понял её в прошлый раз.

1.

Кубик бросают 2 раза. Какой может быть сумма выпавших чисел? Найдите вероятность для каждой суммы.

2.

Кубик бросают 10 раз. Какова вероятность того, что а) все 10 раз выпадет 4; б) сначала 6 раз выпадет 2, а затем 4 раза 6; в) сначала трижды выпадет 6?

Иногда требуется найти вероятность чего-то при определённом условии. Причём если бы условия не было, то вероятность найти было бы легко, а теперь пока непонятно, что делать. Попробую показать, что всё не так плохо, и найти вероятность всё равно легко. Для примера возьмём кубик, у которого числа 1, 2 и 3 покрашены в зелёный, а остальные — в синий. Если бросить кубик, то с вероятностью ½ выпадет зелёная цифра, ½ — что синяя. Теперь добавим условие, что выпала обязательно нечётная цифра. С какой вероятностью она зелёная? На кубике нечётных цифр три, каждая выпадает с одинаковой вероятностью, то есть с ¹/₃. Нас интересует только две из них — единица и тройка. Получается, ответ ¹/₃ + ¹/₃ = ²/₃.

3.

Из 100 симметричных монет одна фальшивая (с двумя орлами). Выбрали случайно монету, бросили 5 раз: выпали все орлы. С какой вероятностью, если её бросить ещё 10 раз, снова выпадут все орлы?

4.

Два охотника одновременно выстрелили одинаковыми пулями в медведя. Медведь был убит одной пулей. Как поделить охотникам шкуру, если вероятность попадания у первого — 0,3, а у второго — 0,6?

5.

Отец обещал сыну приз, если тот выиграет подряд хотя бы две теннисные партии против него и чемпиона по одной из схем: отец-чемпион-отец или чемпион-отец-чемпион. Чемпион играет лучше отца. Какую схему выбрать сыну?

6.

В передаче «Кольцо Чудес» ведущий разыгрывает приз следующим образом: играющему показывают три двери, за одной из них находится автомобиль, за остальными — по козе. Играющий указывал на одну из дверей, после чего ведущий открывал ту из оставшихся, за которой была коза. После этого играющий мог или настоять на первоначальном выборе, либо сменить его и выбрать третью дверь. В каком случае его шансы возрастут?

7.

Мистер А бросает монетку n + 1 раз, а мистер Б n раз. С какой вероятностью у А выпало больше орлов, чем у Б? А если бы мистер А бросал тоже n раз?

8.

(Сумасшедшая старушка.) Каждый из n пассажиров купил по билету на n-местный самолет. Первой зашла сумасшедшая старушка и села на случайное место. Далее, каждый вновь вошедший занимает свое место, если оно свободно; иначе занимает случайное. Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?

9.

Вокруг правильного 2n-угольника описана окружность. Какова вероятность того, что случайно выбранная тройка вершин будет лежать на одно полуокружности? (Считаем, что концы полуокружности лежат на ней.)

10.

Мистер А, мистер Б и мистер Ц сходятся для трёхсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для Ц — 0,5, а Б стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, дальше Б, затем Ц и т.д. по очереди (раненый выбывает из дуэли), пока не останется только один. Какой должна быть стратегия А?