МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Геометрия-1

1.

Как вырезать из прямоугольника 22×15 максимальное количество прямоугольников 3×5?

2.

Существует ли четырёхугольник, у которого любую вершину можно перенести (оставив остальные на месте) так, что получится четырёхугольник, равный исходному?

3.

На круглом столе лежит прямоугольная бумажная лента, на ленте проводят прямую линию, и перегибают лист по этой линии так, что перегибается меньшая часть (см. рис.). Может ли лента после этого вылезать за пределы стола?

4.

Найдите число сторон выпуклого n-угольника, если каждый его внутренний угол не меньше 151° и не больше 153°.

5.

Какое максимальное число точек пересечения диагоналей может быть у выпуклого 6-угольника?

6.

Дана прямая и монетка. Разрешается обводить монетку, прикладывая её к двум точкам. Построить какую-нибудь прямую, перпендикулярную данной (так как линейки нет, то нужно построить две точки этой прямой).

7.

На клетчатой плоскости провели прямую через два узла. Постройте прямую, проходящую через данный узел перпендикулярно этой прямой.

8.

Сверните из а) квадратного, б) прямоугольного листа бумаги тетраэдр (то бишь треугольную пирамиду).

9.

Каково отношение сторон у листа А4? (решения с помощью измерительных приборов не принимаются!)

10.

Разрезать треугольную призму на 3 тетраэдра.

11.

а)

Нарисуйте 4 окружности (можно разного радиуса) так, чтобы точек касания было ровно 6.

б)

Докажите, что нельзя нарисовать пять окружностей так, чтобы было 10 точек касания.

12.

а)

Можно ли так расположить четыре шара в пространстве, чтобы каждый касался всех остальных?

б)

А пять шаров (не обязательно одинаковых)?