МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Системы счисления — 1

Немногие знают, что при помощи загибания пальцев можно досчитать вовсе не до 10, а до 1023.

Обычная система счисления с 10 цифрами, которой мы пользуемся, называют десятичной позиционной или позиционной с основанием 10. Есть и другие позиционные системы, друг от друга они отличаются только количеством цифр. Например, вот так считать в троичной системе: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, ... Вместо разрядов десятков, сотен и т. д. здесь будут разряды троек, девяток, двадцать семёрок и т. д. Чтобы не путать, в какой системе счисления какое число написано, к нему приписывают соответствующий индекс, например: 111₂, 22₃, 123₄, 73₁₀.

1.

Переведите в десятичную систему: а) 10110₂; б) 1221₃; в) 1234₅; г) 1AB₁₆ («A» традиционно обозначает цифру «10», «B» — «11» и т. д.); д) 888888888₉.

2.

Научитесь считать на пальцах до 1023.

Один из самых лёгких способов переведения чисел в другую систему счисления работает так (разберём его для перевода в четверичную систему): что такое разряд единиц? А это то, какой остаток от деления числа на 4. Разряд четвёрок — то, сколько четвёрок в остатке от деления на 16. И так далее.

Пример 1. 123₁₀ = 4·30 + 3 = 4·(4·7 + 2) + 3 = 4·(4·(4·1 + 3) + 2) + 3 = 4³·1 + 4²· 3 + 4· 2 + 3 = 1323₄.

Пример 2. 133₁₀ = 11·12 + 1 = 11²·1 + 11 + 1 = 111₁₁.

3.

Записать числа 18, 45, 49, 66 в а) пятеричной; б) шестиричной; в) семиричной и г) пятнадцатеричной системах счисления.

4.

Переписать числа: а) 1011 из двоичной в троичную; б) 121 из троичной в пятеричную; в) 24 из пятеричной в троичную; г) AB из пятнадцатеричной в восьмеричную.

5.

Существуют ли системы счисления, в которых верны следующие равенства? а) 2 + 3 = 11; б) 4×4 = 24; в) 6×6 = 50; г) 5×5 = 21?

6.

Знаменитый путеводитель «Автостопом по галактике» утверждает, что 6×9 = 42. Какая система счисления использовалась в Путеводителе?

7.

С числом разрешается производить две операции: „увеличить в два раза” и „увеличить на 1”. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить число 100?

8.

Придумайте признаки делимости на 2 и на 3 для троичной системы счисления.

9.

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

10.

Нега-позиционная система представляет собой позиционную систему с отрицательным основанием: например, в нега-позиционной системе с основанием -5 всего 5 цифр и 1024 _{− 5} = ( − 5)³ + ( − 5)·2 + 4 = − 131. Придумайте, как можно переводить в неё числа. Почему каждое число можно перевести только одним способом?

• Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в году. Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).
• Древнеегипетская система счисления десятичная, но не позиционная. Для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ использовались специальные цифры. Числа записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи, например ∩∩|∩ = 31.
• Шумерская система счисления шестидесятирична, сейчас её ипользуют для изерения времени (минута = ¹/₆₀ часа, секунда = ¹/_60² часа, терция ¹/_60³ часа) и углов (если кто не знает, то ¹/₂° = 30' = 1800''). Большинство использовавшихся систем счисления десятичны только потому, что палецев на руках 10. Существует гипотеза О. Нейгебауэра о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей, из-за этого и возникла такая система. В системе шумеров почему-то не было цифры 0, так что числа 1001, 11 и 110 записывались одинаково.
• Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев, всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук.
• Греческая система счисления относится к алфавитным системам счисления, где в качестве цифр использовались буквы алфавита. В греческом алфавите всего 24 буквы, в системе счисления к ним добавляли ещё три. Девять букв означали числа от 1 до 9, ещё девять — от 10 до 90, оставшиеся — от 100 до 900. Например, 632 записывалось так: χλβ (χ это 600, λ — 30, β — 2). Чтобы записать тысячи, слева от их числа ставили запятую. Для чисел, больших 9999, использовалось M, означавшее 10000, его можно было домножать на какое-то число от 1 до 9999. Числа, большие 99999999, скорее всего записывали как-то аналогично. Например, 102001 записывалось так: Mι,βα. (α — это 1, ι — 10).