МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Разные задачи

1.

Чего больше: семизначных чисел, в которых есть хотя бы одна восьмёрка, или тех, в которых нет восьмёрки?

2.

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц? (Помогает вопрос: а какие числа из одних единиц делятся на это число?)

3.

Сократите дробь: ¹⁰⁰²⁷/₃₂₆₇₁.

4.

а)

Найдите все такие q < 12, что 2420_q делится на 7.

б)

Найдите все такие q, что 2420_q делится на 7.

5.

Найдите сумму коффициентов в многочлене (x − 2)²⁰¹¹.

6.

Найдите все целые x и y, которые являются решением уравнения 12x − 5y = 7.

7.

Найдите все выпуклые многоугольники, обладающие следующим свойством: для любой точки внутренности многоугольника основание перпендикуляра, опущенного из неё на любую сторону, лежит внутри этой стороны.

8.

На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:
Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
Поклоняетесь ли Вы богу Земли?
На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

9.

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник. (Например, из отрезков с длинами 1, 2 и 4 нельзя сотавить треугольник.)

10.

Каждая клетка квадратной таблицы покрашена в некоторых цвет, причём любые две строчки раскрашены по-разному. Докажите, что можно убрать один столбец так, что в оставшейся таблице все строки по-прежнему будут различны.

11.

Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1024. Кто выигрывает при правильной игре и как играть чтобы выиграть?

12.

Докажите, что при натуральных a, больших 1, число a⁴ + 4 составное.

13.

Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску 8×8, чтобы все белые клетки были под боем этих ладей?

14.

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел, со свойством: количество членов прогрессии конечно и больше, равно разности прогрессии. (Если кто не знает, о чём вообще речь, то вот пример арифметической прогрессии из 5 членов с разностью 3: 2, 5, 8, 11, 14.)